Notes sur  les séries - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les séries - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, les polynomes.
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... (11.87)

Il est évident que cette méthode nous permet de calculer à la main que les premiers termes de

cette série.

Ainsi, en se basant sur :

(11.88)

nous trouvons que les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants:

k

0 1

1 −1/2

2 1/6

3 0

4 −1/30

5 0

6 1/42

7 0

8 −1/30

9 0

10 5/66

11 0

12 −691/2730

13 0

14 7/6

Tableau: 11.1 - Nombres de Bernouilli

Le lecteur aura remarqueré que lorsque n est impair et différent de 1.

C.Q.F.D.

Nous voyons bien par ailleurs, que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être

décrits simplement. En fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann (voir

plus bas) pour des valeurs entières négatives de la variable, et sont associés à des propriétés

théoriques profondes qui dépassent le cadre de ce site. Par ailleurs, les nombres de Bernoulli

apparaissent également dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes

circulaire et hyperbolique, dans la formule d'Euler-MacLaurin ainsi (voir plus bas).

Avec une petite modification, il est possible de définir les "polynômes de Bernoulli" par :

(11.89)

avec donc :

(11.90)

Par ailleurs, il est aisé de remarquer que:

(11.91)

et donc il est facile d'en déduire:

(11.92)

Démonstration:

D'un côté nous avons:

(11.93)

et d'un autre nous avons:

(11.94)

Donc:

(11.95)

C.Q.F.D.

Et par identification des coefficients nous en déduisons:

(11.96)

et pour :

(11.97)

Il est alors aisé de déduire que les sont des polynômes de degré k:

(11.98)

Voici un tracé de ces polynômes:

(11.99)

Ce qui est remarquable c'est qu'à l'aide des polynômes de Bernoulli, nous voyons qu'il est possible

d'écrire les sous la forme suivante:

(11.100)

Certains écrivent cette relation encore autrement. Effectivement, de la relation précédente, nous

pouvons écrire:

(11.101)

Et en utilisant:

(11.102)

Il vient:

(11.103)

Donc nous venons de démontrer:

(11.104)

Cependant, nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il advient de la somme partielle de

suites arithmétiques et géométriques telles que présentées au début de ce chapitre.

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