Notes sur les séries arithmiques, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries arithmiques, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries arithmiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les séries géométriques, la fonction zêta et identité d'euler.
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SÉRIES ARITHMÉTIQUES

Nous avons démontré plus haut que la somme partielle de la série de Gauss (analogue à la somme

des termes d'une suite arithmétique de raison r=1) s'écrivait donc:

(11.105)

si nous notons non pas n la valeur n-ème terme mais , le développement que nous avions fait

pour la série de Gauss nous amène alors à:

(11.106)

et si nous notons le premier terme 1 de la Série de Gauss par , nous avons alors:

(11.107)

ce qui nous donne la somme partielle des n-termes d'une suite arithmétique de

raison r quelconque (ou plus simplement : la somme partielle de la série arithmétique de raison r)

Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en

reprenant (toujours) le même développement fait que pour la série de Gauss, le terme r se simplifie.

SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

De même, avec un somme géométrique où nous avons pour rappel:

(11.108)

nous avons donc:

(11.109)

La dernière relation s'écrit (après simplification):

(11.110)

et si , nous avons:

(11.111)

ce qui peut s'écrire en factorisant :

(11.112)

Exemple:

Soit la suite de raison q=2 suivante:

(11.113)

pour calculer la somme des quatre premiers termes , nous prenons la puissance de 2

équivalent (le zéro n'étant pas pris en compte). Nous obtenons alors bien .

FONCTION ZÊTA ET IDENTITÉ D'EULER

L'allemand Riemann a baptisé "zêta" une fonction déjà étudiée avant lui, mais qu'il examine

lorsque la valeur est un nombre complexe (cf. chapitre sur les Nombres). Cette fonction se

présente comme une série de puissances inverses de nombres entiers. C'est la série:

(11.114)

Remarque: Il est traditionnel de noter s la variable dont dépend cette série.

Cette série a une propriété intéressante mais si l'on reste dans le cadre des puissances entières

positives et non nulles:

(11.115)

quand nous avons alors:

(11.116)

Si nous faisons , nous obtenons la somme des puissances inverses de 2 et de mêmes

avec tel que:

(11.117)

Si nous faisons le produit de ces deux expressions, nous obtenons la somme des puissances de

toutes les fractions dont le dénominateur est un nombre produit de 2 et de 3:

(11.118)

Si nous prenons tous les nombres premiers à gauche, nous obtiendrons à droite tous les nombres

entiers, puisque tout entier est produit de nombres premiers selon le théorème fondamental de

l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie Des Nombres), et c'est l'identité fondamentale d'Euler : ce

que nous appelons maintenant la "fonction zêta de Riemann" est à la fois un produit fini et la

somme des puissances inverse de tous les entiers:

(11.119)

En notation condensée, "l'identité d'Euler" est:

(11.120)

où p sont les nombres premiers.

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