Notes sur les séries de Bessel, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Bessel, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Bessel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les fonctions de Bessel, la fonction de bessel d'ordre zéro, la fonction de bessel d'ordre n, l'équation différentielle de...
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SÉRIES DE BESSEL

Les fonctions de Bessel sont très utiles dans de nombreux domaines de pointe de la physique

faisant intervenir des équations différentielles délicates à résoudre. Les domaines dans lesquelles

nous les trouvons le plus souvent sont la calorimétrie (conduction de la chaleur), la physique

nucléaire (physique de réacteurs), et la mécanique des fluides.

Ces séries sont cependant très peu détaillées dans les écoles universitaires et il est souvent du rôle

de l'élève de chercher les compléments d'informations dont il a besoin sur le sujet dans la

bibliothèque de son école. Nous avons voulu présenter ici les développements permettant d'éviter

cette démarche tout en restant chez soi devant son ordinateur (de plus les livres sur le sujet sont

assez rares...).

Remarque: Nous parlons habituellement par abus de langage des "fonctions de Bessel" au lieu des

"séries de Bessel".

Il existe une quantité non négligeable de fonctions de Bessel mais nous allons nous restreindre à

l'étude de celles qui sont les plus utilisées en physique.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE ZÉRO

La fonction connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre zéro", est définie par la série de

puissances:

(11.249)

C'est lors de l'étude des propriétés de dérivation et d'intégration que Bessel a trouvé que cette

série de puissance est une solution à une équation différentielle que l'on retrouve assez

fréquemment en physique. C'est pourquoi elle porte son nom.

Si représente le r-ème terme de la série, nous voyons aisément que:

(11.250)

qui tend vers zéro quand , quelque soit la valeur de x. Cela a pour conséquence que la

série converge pour toutes les valeurs dex. Comme il s'agit d'une série de puissance positive, la

fonction et toutes ses dérivées sont continues pour toutes valeurs dex, réelles ou

complexes.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE N

La fonction , connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre n", est définie, lorsque n est

un entier positif, par la série de puissance:

(11.251)

qui converge pour toutes valeurs de x, réelles ou complexes.

(11.252)

En particulier, pour nous avons:

(11.253)

et quand :

(11.254)

Nous pouvons noter que est une fonction paire de x quand n est paire, et impaire

quand n est impaire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle).

En dérivant la fonction et en comparant le résultat avec la série , nous voyons sans

trop de peine que:

(11.255)

Nous trouvons également sans trop de difficulté, la relation suivante:

(11.256)

En utilisant le fait que:

(11.257)

et en l'incluant dans la précédente relation, nous trouvons:

(11.258)

ou écrit autrement:

(11.259)

est donc une solution de l'équation différentielle du second ordre:

(11.260)

ou écrit autrement:

(11.261)

ou encore:

(11.262)

Une solution à une équation de Bessel de paramètre n qui n'est pas un multiple de est

appelé "fonction de Bessel du second type". Supposons que u est une telle fonction et

posons ; alors d'après la relation:

(11.263)

nous avons:

et (11.264)

En multipliant la première relation par v et la seconde par u et après soustraction, nous obtenons:

(11.265)

nous avons donc également:

(11.266)

nous pouvons donc écrire:

(11.267)

effectivement car si nous développons, nous trouvons:

(11.268)

Pour que l'égalité:

(11.269)

soit satisfaite, nous avons:

(11.270)

En divisant par , nous avons:

(11.271)

ce qui est équivalent à:

(11.272)

de suite, par intégration il vient:

(11.273)

où A est une constante. Consécutivement nous avons, puisque :

(11.274)

où rappelons-le, A et B sont des constantes, et si u n'est pas un multiple de par

définition.

Si dans la dernière relation, est remplacé par son expression en termes de série nous avons:

(11.275)

dès lors:

(11.276)

consécutivement si nous posons:

(11.277)

où est une fonction de Bessel particulière du second type appelée "fonction de Bessel-

Neumann du second type d'ordre nul".

Identiquement au fait que quand , l'expression à cause du terme

quand xest petit tend vers quand .

Finalement, il vient de ce que nous avons vu précédemment que et sont des solutions

indépendantes de l'équation différentielle:

(11.278)

La solution générale étant donc:

(11.279)

où A,B sont des constantes arbitraires et afin que soit réel.

Si nous remplaçons x par kx, où k est une constante, l'équation différentielle devient:

(11.280)

en multipliant le tout par , nous trouvons la forme générale de l'équation différentielle:

(11.281)

dont la solution générale est:

(11.282)

où afin que soit réel quand .

Au fait, les fonctions de Bessel viennent des solutions de l'équation différentielle étudiée

précédemment et solutionnées par la méthode de Frobenius. Posons:

(11.283)

et faisons la substitution:

(11.284)

en substituant dans Ly, nous obtenons:

(11.285)

Choisissons maintenant les afin de satisfaire l'équation différentielle tel que:

(11.286)

Dès lors, à moins que soit un entier négatif, nous avons:

(11.287)

En substituant ces valeurs dans la relation:

(11.288)

nous obtenons:

(11.289)

dès lors:

(11.290)

si nous posons dans l'avant-dernière relation, nous obtenons:

(11.291)

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE BESSEL D'ORDRE N

Nous avons défini les séries de Bessel comme étant :

(11.292)

Posons :

(11.293)

et dérivons ainsi :

(11.294)

Mais nous avons aussi :

(11.295)

Par soustraction :

(11.296)

Ce qui donne finalement :

(11.297)

Ce qui s'écrit également :

(11.298)

Qui est appelé "l'équation différentielle de Bessel d'ordre n" ou plus simplement "équation de

Bessel". Au fait, la plupart des écoles ou sites Internet donnent cette équation différentielle comme

une définition et pourtant il est clair qu'il y a raisonnement rigoureux derrière cette équation.

La solution est donc du type :

(11.299)

ce qui s'écrit encore parfois en utilisant la fonction gamma d'Euler :

(11.300)

Il s'ensuite que :

(11.301)

et donc que est solution de cette équation différentielle.

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