Notes sur les séries de Fourier - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Fourier - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Fourier - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une série trigonométrique, le théorème de Fourier, La série de Fourier.
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SÉRIES DE FOURIER

Nous appelons par définition "série trigonométrique" une série de la forme:

(11.162)

ou sous une forme plus compacte:

(11.163)

Les constantes sont les coefficients de la série trigonométrique plus

souvent nommés "coefficients de Fourier".

Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de

polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes

trigonométriques. (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par ailleurs, nous avons vu comme exemple

dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle lors de notre étude du produit scalaire fonctionnel que les

fonctions sinus et cosinus constituaient les bases d'un espace vectoriel.

Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x) de période , étant donné

que sin(nx) et cos(nx) sont des fonctions périodiques de période . De sorte que:

(11.164)

Posons maintenant le problème suivant : Nous nous donnons une fonction connue, périodique

quelconque f(x) continue par morceaux de période . Nous demandons s'il existe une série

trigonométrique convergeant versf(x) moyennant des conditions sur cette série.

Supposons maintenant que la fonction f(x), périodique et de période , puisse être

effectivement représentée par une série trigonométrique convergent vers f(x) dans l'intervalle

[0, T], c'est-à-dire qu'elle soit la somme de cette série:

(11.165)

Supposons que l'intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité soit égale à la somme

des intégrales des termes de la série ci-dessus. Ceci aura lieu, par exemple, si nous supposons

que la série trigonométrique proposée converge absolument, c'est-à-dire que la série numérique

suivante converge (de par la propriété bornée des fonctions trigonométriques):

(11.166)

La série:

(11.167)

est alors majorable et peut être intégrée terme à terme de 0 à T (où ) ce qui nous permet

de déterminer les différents coefficients de Fourier. Mais avant de commencer exposons les

intégrales suivantes qui nous très seront utiles par la suite:

(11.168)

Avec et Avec et

Avant de continuer, démontrons la valeur que prennent ces six intégrales (suite à la demande des

internautes). Mais d'abord, rappelons que

comme alors et

1. Nous procédons en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de

Trigonométrie) et les primitives des fonctions trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de calcul

Différentiel Et Intégral):

(11.169)

car comme nous l'avons vu en trigonométrie et comme , les deux

différences précédentes ont tous les termes qui sont nuls tel que:

(11.170)

2. Pour la deuxième intégrale, nous procédons selon les mêmes techniques et mêmes propriétés

des fonctions trigonométriques:

(11.171)

3. Et nous continuons ainsi pour la troisième, toujours selon les mêmes propriétés:

(11.172)

4. Encore une fois selon les mêmes méthodes (cela devient routinier...) pour d'abord:

(11.173)

et pour il vient immédiatement:

(11.174)

5. Encore une fois... (bientôt au bout...) pour d'abord:

(11.175)

et pour il vient immédiatement:

(11.176)

6. Et enfin la dernière (...):

(11.177)

Ce petit travail fait, revenons maintenant à nos moutons... Pour déterminer les

coefficients multiplions les deux membres de l'égalité:

(11.178)

par :

(11.179)

La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas

supérieurs en valeur absolue aux termes de la série positive convergente. Nous pouvons donc

l'intégrer terme à terme sur tout segment borné de 0 à T :

(11.180)

Nous avons démontré plus haut que quelque soient les valeurs entières que prennent k ou n le

deuxième terme de la paranthèse est toujours nul. Il ne reste alors plus que:

(11.181)

Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont

différents. Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux. C'est-à-dire:

(11.182)

Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. Dans ce cas:

(11.183)

Soit:

(11.184)

Il est évident que le coefficient représente donc la moyenne du signal ou la composante

continue si elle existe.

Dans le cas où k n'est pas nul, nous avons:

(11.185)

D'où nous tirons:

(11.186)

Pour déterminer les coefficients nous procédons de la même manière mais en mulitpliant cette

fois-ci les deux membres de l'égalité par :

(11.187)

La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas

supérieurs en valeurs absolues aux termes de la série positive convergente. Nous pouvons donc

l'intégrer terme à terme sur tout segment borné de 0 à T :

(11.188)

Nous avons démontré plus haut que quelque soient les valeurs entières que prennent k ou n le

premier terme de la paranthèse est toujours nul. Il ne reste alors plus que:

(11.189)

Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont

différents. Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux. C'est-à-dire:

(11.190)

Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. Mais nous voyons de suite

que nous avons une division par zéro. Il vaut mieux alors considérer le cas général d'où nous

tirons

D'où nous tirons aisément que:

(11.191)

Dès lors, pour la situation où k est nul le coefficient est alors nul!

Donc finalement les coefficients de Fourier sont donc déterminés par les intégrales:

(11.192)

Mais comme c'est embêtant d'avoir trois résultats pour les coefficients nous allons jouer un peu

avec la définition de la série de Fourier.

Effectivement en sommant de 1 à l'infini plutôt que de 0 à l'infini nous avons :

(11.193)

Ce qui permet alors de n'avoir qu'à se rappeler de ( inclus donc!) :

(11.194)

Les physiciens ont eux pour habitude de noter ces relations sous la forme suivante :

(11.195)

Cette décomposition possible de toute fonction périodique continue par morceaux approchée par

une somme infinie de fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) consistant en une fonction

fondamentale et ses harmoniques est appelé "théorème de Fourier" ou encore "théorème de

Fourier-Dirichlet".

(11.196) Source : Mathworld

La série de Fourier permet donc implicitement de représenter toutes les fréquences contenues

dans un signal périodique dont la fonction est connue mathématiquement. On se demande bien

pourquoi parler des séries de Fourier quand, dans la pratique, nous ne connaissons pas vraiment

la représentation mathématique de ce signal? Cela nous amènera à mieux comprendre le concept

de la transformée de Fourier à temps discret (DTFT), que nous verrons un peu plus loin, qui n'a nul

besoin d'une représentation mathématique d'un signal continu échantillonné dans le temps.

Nous constatons par ailleurs que si f(x), soit la fonction périodique dont nous cherchons

l'expression en série trigonométrique de Fourier, est paire alors la série devra être paire aussi et

donc ne comporter que des termes en cosinus (le cosinus étant pour rappel une fonction paire) ce

qui implique que et dans le cas contraire d'une fonction impaire (le sinus étant

pour rappel une fonction impaire)!

Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme nous l'avons vu dans le chapitre

de Calcul Algébrique lors de notre étude des polynômes trigonométriques, que les séries de

Fourier pouvaient donc s'écrire sous la forme complexe suivante (en changeant un peu les

notations et en passant la somme à l'infini):

(11.197)

et nous avions vus que:

(11.198)

Soit:

(11.199)

Ce qui nous donne:

(11.200)

Exemple:

E1. Lors de la décomposition d'un signal continu, nous disons abusivement que les

coefficients représentent chacun (implicitement) une fréquence distincte associée à une

amplitude que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales. Ce graphique

représente le spectre en fréquence du signal décomposé. Nous pouvons également adjoindre une

autre représentation qui se nomme "spectre de phase". Ce spectre nous donne la phase du signal

harmonique (en avance ou en retard de phase).

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