Notes sur les séries de Fourier - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Fourier - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Fourier - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme graphique, l'option Analyse de Fourier, le tableau.
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(11.201)

Voyons maintenant comment décomposer un signal périodique connu en plusieurs signaux

d'amplitudes et de fréquences distinctes.

Prenons comme exemple, un signal à onde carrée périodique défini sur une période T=2 et

d'amplitude A tel que:

(11.202)

A la période T=2 correspond comme nous le savons une pulsation:

(11.203)

Calculons en premier lieu les coefficients à l'aide de l'intégrale permettant de déterminer ces

coefficients (le choix des bornes de l'intégrale supposent donc que le signal est périodique par

construction!):

(11.204)

En prenant k = 2, nous avons:

(11.205)

De même pour k = 4,6,8 ainsi que tout nombre pair.

Pour ce qui est des nombres impairs, nous aurons:

(11.206)

Les coefficients seront alors:

(11.207)

Il y a un seul hic dans cette relation, le coefficient ne peut être calculé selon cette relation car

on peut voir que si k = 0 dans le résultat ci-haut, nous aurons une valeur infinie et c'est du moins

impossible. Le coefficient est soit nul ou non nul mais jamais infini.

Pour trouver le coefficient , nous devons calculer l'intégrale pour k=0. Le coefficient est alors

déterminé par:

(11.208)

Le spectre en "fréquence" (attention à l'abus de langage) et en amplitude sera alors de la forme

suivante pour et les fréquences nulles n'étant pas représentées:

(11.209)

L'abus de parler de fréquence pour les coefficients de Fourier amène dont à avoir des fréquences

négatives... mais ce n'est qu'une question de vocabulaire auquel il faut s'habituer.

Le spectre d'amplitude et de phase se calcule selon les relations:

(11.210)

Il est alors relativement aisé de remarquer que si T tend vers un nombre de plus en plus grand, les

pics du spectre se rapprochent de plus en plus. Ainsi, lorsque T tend vers l'infini le spectre devient

continu.

Le spectre de phase donnera ce qui suit pour les valeurs impaires:

(11.211)

Il est même possible pour l'exemple d'obtenir très facilement le spectre des fréquences dans MS

Excel !!!

Effectivement, il suffit pour cela d'échantillonner par exemple notre signal 128 fois (MS Excel a

besoin de échantillons). Nous divisons alors l'intervalle en 64 échantillons et idem

pour l'intervalle :

Tableau: 11.2 - Echantillonage Signal

Ce qui donne sous forme graphique:

(11.212)

Ensuite, il suffit d'aller dans le menu Outils/Utilitaire d'analyse et choisir l'option Analyse de

Fourier:

(11.213)

Vient ensuite la boîte de dialogue suivante qu'il faut remplir comme indiqué:

(11.214)

Vient alors le résultant suivant pour les coefficients le tableau suivant:

Tableau: 11.3 - Coefficients de Fourier

Il reste à calculer le module des nombres complexes avec la fonction MODULE.COMPLEXE( ) de MS

Excel et de diviser le résultat par 128 pour chacun des coefficients mais nous voyons déjà que

chaque coefficient pair est nul ce qui correspond bien au résultat théorique.

Nous avons alors en mettant l'indice n en face de chaque module:

Tableau: 11.4 - Module coefficients complexes

En en traçant un graphique MS Excel à points un peu personnalisé des colonnes D et E, nous

obtenons finalement:

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