Notes sur les séries de Fourier - 3° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Fourier - 3° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Fourier - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coefficients de Fourier, La série de Fourier de la fonction considérée, la puissance d'un signal, la trans...
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(11.215)

E2. Prenons un autre exemple identique au précédent mais sous une autre approche. Nous

définissons une fonction périodique de période comme suit:

(11.216)

Calculons les coefficients de Fourier:

(11.217)

et:

(11.218)

Nous remarquons que vaut 0 pour n pair et vaut pour n impair.

La série de Fourier de la fonction considérée s'écrit donc:

(11.219)

Ce qui en Maple s'écrit:

S:=(4/Pi)*Sum(sin((2*n+1)*x)/(2*n+1),n=0..N);

et que nous pouvons tracer à l'aide de la fonction:

plot({subs(N=4,S),subs(N=8,S),subs(N=16,S)},x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue],numpoints=200);

Ce qui donne trois traces pour 4, 8 et 16 termes de la série en rouge, vert et bleu:

(11.220)

Pour 50 termes nous obtenons:

> plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800);

(11.221)

Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène de Gibbs". Il est possible de montrer avec pas

mal de développements que ceux-ci arrivent à la valeur de l'abscisse correspondant

à et que le dépassement et que le pic va à 1.179 pour toute valeur de n.

PUISSANCE D'UN SIGNAL

Un signal périodique possède une énergie infinie et une puissance moyenne nulle (cf. chapitre

d'Électrocinétique). Sa puissance moyenne sur une période est alors définie par:

(11.222)

Si nous développons cette équation, nous avons:

(11.223)

Cela signifie que la puissance d'un signal à temps continu périodique est égale à la somme des

coefficients de Fourier au carré. C'est ce que l'on nomme le "théorème de Parseval". Cela signifie

que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer en série de Fourier, nous

pouvons connaître la puissance de ce signal uniquement à l'aide des coefficients spectraux.

Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement l'expression de ce signal,

nous utilisons la discrétisation ou l'échantillonnage et ensuite à l'aide d'une transformée de Fourier

discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant uniquement les coefficients

spectraux. Cela nous donne une caractéristique du signal.

TRANSFORMÉE DE FOURIER

Les séries de Fourier sont un outil très puissant pour l'analyse de signaux périodiques par

exemple, mais l'ensemble des fonctions périodiques est petit comparé à l'ensemble des fonctions

que nous rencontrons dans les problèmes physiques. Ainsi, nous allons introduire un nouvel outil

d'analyse extrêmement puissant qui s'étend à une classe de fonctions plus générale.

La transformée de Fourier est ainsi utilisée autant pour les signaux périodiques que pour les

signaux apériodiques.

Pour cela, nous repartons de notre étude sur les séries de Fourier en notation complexe d'une

fonction périodique de période T quelconque et nous faisons tendre .

Ainsi, reprenons les expressions démontrées avant:

(11.224)

que nous pouvons écrire de manière équivalente sous la forme:

(11.225)

et écrivons encore cela pour des besoins ultérieurs sous la forme suivante:

(11.226)

et posons:

(11.227)

Ainsi, quand , nous passons de valeur discrète à valeur continue qui parcourt

l'ensemble des réels (pour tous les k). Donc de:

(11.228)

nous passons à la limite soit:

(11.229)

et obtenons ainsi pour les coefficients (nous changeons de notation car l'ancienne est inadaptée):

(11.230)

et pour la série infinie:

(11.231)

Attention!!! Pour faire la différence entre la fonction donnée et son équivalent dont nous

cherchons l'expression en somme infinie, nous les noterons dorénavant différemment. Ainsi, il

vient:

(11.232)

Définitions:

D1. Nous appelons "transformée de Fourier" de f la relation:

(11.233)

D2. Nous appelons "transformée de Fourier inverse" de F la relation:

(11.234)

Remarque: Il existe de nombreuses manière d'écrire la transformée de Fourier en fonction du choix

de la valeur initiale de T .

Certains physiciens préfèrent symétriser ces deux expressions en mettant le même coefficient

dans les deux sens, qui sera par exemple . Cela donnera:

(11.235

)

Donnons également la forme tridimensionnelle qui nous servira de nombreuses fois en mécanique

ondulatoire, électrodynamique, optique ondulatoire ou encore dans les divers chapitres de

physique quantique:

(11.236)

Pour que les choses soient peut-être plus claires, montrons de manière générale que la

transformée de Fourier précédemment écrite est une isométrie (conserve la norme).

Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous avons le produit scalaire fonctionnel:

(11.237)

Mais puisque les fonctions sont dans l'espace des complexes, comme nous l'avons vu dans le

chapitre de calcul vectoriel, nous devons alors utiliser la notation du produit hermitien:

(11.238)

Rappelons quand même que:

(11.239)

Démonstration:

D'abord, nous avons donc:

(11.240)

Mais les variables à intégrer doivent être les mêmes et pour que soit implicitement

dépendant de il faut donc prendre la transforme de Fourier en . Tel que:

(11.241)

Ainsi:

(11.242)

Soit en utilisant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(11.2

43)

A l'aide de ce résultat, nous avons donc démontré que:

(11.244)

Nous n'avons pas précisé les bornes :elles sont infinies dans chaque définition (nous intégrons sur

tous les ou possibles).

C.Q.F.D.

Voyons maintenant deux propriétés intéressantes de la transformée de Fourier:

P1. Si f est paire, il vient une simplification de la transformée telle que:

(11.245)

P2. Si f est impaire, nous procédons de la même manière que ci-dessus et nous obtenons:

(11.246)

Remarque: La branche de "l'analyse harmonique", ou "analyse de Fourier 2D", est la branche des

mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition

d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de

Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces

deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physiques sous le nom d'analyse

spectrale, et connaît des applications récentes notamment en traitement des signaux, mécanique

quantique, neurosciences, stratigraphie, statistiques...

Exemple:

Voyons donc un exemple (parmi les deux fondamentaux) d'une transformée de Fourier que nous

retrouvons en physique quantique aussi bien qu'en optique ondulatoire.

Nous allons calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante:

(11.247)

Nous avons donc:

(11.248)

où sinc est le sinus cardinal. Nous retombons donc sur le sinus cardinal (si nous prenons le

module au carré) de la décomposition d'une onde monochromatique diffractée par une fente

rectangulaire. Ainsi, il semble possible d'étudier les phénomènes de diffraction en utilisant la

transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique de Fourier".

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