Notes sur les séries de Laurent - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Laurent - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Laurent - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, le développement, la "série de Laurent", exemple.
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SÉRIES DE LAURENT

Cette dernière relation obtenue, nous pouvons revenir à notre déformation du disque de

convergence en une couronne. Nous rappelons que l'idée étant initialement d'avoir l'expression

analytique d'une fonction sous forme d'une série de puissance infinie dans un domaine restreint

autour d'un point singulier et tout ceci... afin de pouvoir calculer pour les physiciens des

intégrales curvilignes complexes en passant par une méthode utilisant les propriétés des séries

complexes!

Commençons dont par le point (2), qui nous mènera plus facilement au point (1), en faisant un

zoom sur notre couronne:

(17.162)

Nous avons donc si la fonction f est analytique et holomorphe dans la couronne de rayon

extérieur R et rayon intérieur r, l'intégrale de chemin suivante dans toute la couronne:

(17.163)

où nous notons z le point où nous souhaitons connaître la fonction et z' la variable dont

dépend f. Ce changement de notation se justifiera par la suite pour une raison purement

pratique.

La couronne peut être donc décomposée en 4 chemins:

(17.164)

Si les deux segments et sont infiniment proches, ils correspondent alors à un même

chemin parcouru une fois dans un sens positif et une fois dans le sens négatif. Or, nous avons

démontré plus haut que:

(17.165)

Il en découle donc que:

(17.166)

Ce qui nous amène à écrire:

(17.167)

Pour les deux intégrales , nous savons que la fraction peut s'écrire sous la forme d'une

série géométrique déjà vue plus haut. Effectivement:

(17.168)

en assimilant:

(17.169)

où comme nous l'avons vu, la convergence impose que:

(17.170)

afin que x soit en valeur absolue inférieur à 1.

Nous voyons alors apparaître la série géométrique infinie:

(17.171)

Soit:

(17.172)

Pour revenir à:

(17.173)

nous avons en tout point z à l'intérieur du cercle de rayon R dont le bord est décrit par la

variable z' et de centre la convergence qui est assurée car:

(17.174)

Nous pouvons alors écrire:

(17.175)

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (déjà connu):

(17.176)

avec la définition des coefficients , où n est un entier positif ou nul:

(17.177)

Ce développement peut faire penser au développement de Taylor au sens où seules des

puissances positives (ou nulles) de apparaissent, mais il n'en est pas un dans la cas de

la couronne! En effet, ne peut pas être écrit cette fois-ci comme:

(17.178)

puisque, par hypothèse, f(z) est supposée analytique dans la couronne seulement, et peut donc

fort bien ne pas l'être à l'intérieur du petit cercle de rayon r, en particulier en , auquel

cas peut tout simplement ne pas exister (répétons que z est strictement contrait à se

trouver dans la couronne, soit ). Nous verrons plus loin ce qui ce passe quand f(z) est

holomorphe dans ce disque et que, notamment, n'est pas un point singulier.

Il nous faut encore traiter . Nous faisons alors le même type de développement que pour ,

avec la différence que maintenant :

(17.179)

lorsque z' parcoure le petit cercle de rayon r. Pour faire apparaître une série géométrique, il faut

écrire cette fois-ci:

(17.180)

d'où:

(17.181)

Soit:

(17.182)

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (nouveau):

(17.183)

avec:

(17.184)

En changeant n et -n dans la sommation pour , nous avons pour la somme :

(17.185)

avec pour l'instant deux distincts:

et (17.186)

Nous allons voir maintenant que des deux relations peuvent être réunies en une seule!

Si nous observons bien ces deux dernières relations, nous constatons qu'elles ne dépendent

nullement de z (!) et c'est bien normal puisque les sont les coefficients du développement en

série de f(z) et ceux-ci sont les mêmes en n'importe quel point du domaine de définition de la

fonction où celle-ci est analytique!

Donc les deux contours (cercles) peuvent être fusionnés en un seul cercle tant que celui-ci est

situé dans la couronne et a pour centre :

(17.187)

Par ailleurs, le lecteur attentif aura remarqué que ce contour n'a même pas besoin d'être un

cercle finalement. Il peut être quelconque tant qu'il est ferme et qu'il se trouve dans un

domaine analytique!

Ainsi les deux relations:

(17.188)

Les deux relations précédentes définissent la "série de Laurent" généralisée. Il est remarquable

et se distingue d'une série de Taylor au sens où il contient toutes les puissances entières

positives et négatives et les coefficients ne sont pas a priori exprimables avec les dérivées

de f.

La série de puissances est appelée "partie régulière", celle des puissances négatives porte

le nom de "partie principale".

La série des puissances négatives converge uniformément partout à l'extérieur de , celle des

puissances positives à l'intérieur de . Au total le développement de Laurent converge

uniformément dans le domaine commun, qui est la couronne et donc aussi sur le chemin

unique .

Montrons maintenant un point que nous avions mentionné plus haut. Si le cercle ne contient

pas de singularité, alors tous les coefficients:

(17.189)

sont nuls. Notons d'abord que est un nombre entier positif ou nul que nous

noterons p tel que:

(17.190)

Nous avons alors l'intégrand suivant dans un chemin fermé:

(17.191)

Or, si nous enlevons la singularité cela impose que est holomorphe (et de toute façon

c'est imposé par tous les développements initiaux sur les séries de Laurent).

est un polynôme à puissance positive et non nulle et comme nous le savons, tout

polynôme satisfaisant ces conditions est dérivable au moins une fois sans faire apparaître de

singularité. Ainsi ce terme est aussi holomorphe.

En admettant que le produit de deux fonctions holomorphe est une fonction holomorphe et que

le contour est fermé, nous avons alors en utilisant le résultat suivant démontré plus haut

(pour une fonction holomorphe):

(17.192)

la conséquence immédiate suivante:

(17.193)

s'il n'y pas de singularité dans le petit cercle de la couronne. Nous retrouvons alors dans ce cas

un développement avec les seules puissances positives, les étant cette fois équivalents à:

(17.194)

conformément au théorème intégral de Cauchy généralisé démontré plus haut. A contrario,

nous voyons bien que c'est la partie principale (quand elle existe) qui contient l'information sur

le fait que f n'est pas à priori holomorphe dans le petit disque. L'existence de puissances

négatives montre que f n'est visiblement pas bornée en .

La classification des singularités d'une fonction sera précisément sur la considération des

caractéristiques de la partie principale du développement de Laurent centré sur un point

singulier de cette fonction.

Exemple:

Voyons donc à quoi ressemble la série de Laurent de notre fonction:

(17.195)

sur un domaine simplement connexe qui serait donc la couronne entourant la singularité i par

exemple (nous aurions pu choisir la deuxième singularité -i mais il fallait bien en prendre

une...). Ce qui équivaut donc à chercher le développement en série de puissance de z - i.

Nous allons procéder de la manière suivante:

(17.196)

Nous allons utiliser pour la suite:

(17.197)

La deuxième fraction peut être exprimée en série géométrique si comme nous l'avons déjà vu:

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