Notes sur les séries de Laurent - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Laurent - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les séries de Laurent - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les singularités, la démonstration.
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(17.198)

Il vient alors:

(17.199)

Multiplions cette série par -i/2 et divisons ensuite par z - i (le deuxième terme du

dénominateur de la fraction initiale) pour obtenir pour le terme de gauche:

(17.200)

et pour le terme de droite nous avons:

(17.201)

Nous avons alors au final pour notre série géométrique:

(17.202)

Nous voyons donc sur cette série de Laurent autour de i de la fonction holomorphe f(z) dans la

couronne, les coefficients :

(17.203)

et nous avons avec Maple:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-

I*im)^3),re=-1.5..1.5,im=-1.5..1.5,view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.204)

où nous voyons que la série de Laurent nous permet d'exprimer f(z) dans un voisinage proche

de la singularité ien prenant 5 termes.

Idem si nous faisons la somme des deux séries de Laurent pour les deux singularités avec 5

termes:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-

I*im)^3 -(I/2)^6*(re-I*im)^4-(I/2)^7*(re-I*im)^5+I/2*1/((re+I*im)+I)+(I/2)^2+

(I/2)^3*(re+I*im)+(I/2)^4*(re+I*im)^2+(I/2)^5*(re+I*im)^3+(I/2)^6*(re+I*im)^5

+(I/2)^7*(re+I*im)^6),re=-1.5..1.5, im=-1.5..1.5, view=[-2..2,-2..2,-

1..2],orientation=[130,70], contours=50, style=PATCHCONTOUR,

axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.205)

et nous voyons que très vite en dehors des deux singularités tout diverge puisque les séries ne

convergent que dans une couronne ou la fonction y est holomorphe. Mais cela donne déjà une

bonne idée visuelle des choses.

SINGULARITÉS

Nous avons donc vu juste précédemment qu'il était donc possible de calculer l'intégrale

curviligne d'une fonction, sous condition d'analycité, sur le contour d'une singularité. Notre

objectif va maintenant être d'améliorer cette approche.

Nous avons déjà mentionné et mis en évidence dans nos démonstrations que l'intégrant dans le

"théorème intégral de Cauchy" était de la forme:

(17.206)

où f(z) est bien définie en .

Le point est bien évidemment une singularité de g(z) et celle-ci n'y est donc pas définie.

Comme nous l'avons vu lors de notre démonstration de séries de Laurent, g(z) peut être

exprimé sous forme de série de Laurent positive dans un disque de convergence (ou ce qui

revient au même: en série de Laurent dans une couronne non centrée sur une singularité...)

sous la forme:

(17.207)

Avant de continuer, il est d'usage en mathématique de définir un petit vocabulaire

conventionnel en ce qui concerne cette fois-ci les éventuelles singularités de f(z)!

Rappelons au préalable que nous savons, et nous avons démontré, que toutes les informations

sur les singularités de f(z) sont contenues la partie principale de la série de Laurent (les

puissances négatives) définie sur la couronne entourant :

(17.208)

La classification ci-après porte donc sur les "singularités isolées", c'est-à-dire un point

singulier où f(z) est analytique partout dans le voisinage de excepté en .

Définitions:

D1. Lorsque la limite de la fonction existe en , nous disons que la singularité est un

"point singulier éliminable" ou une "singularité apparente".

Par exemple:

(17.209)

ne semble pas être définie en mais nous avons un numérateur ayant une série de

Laurent sans puissances négatives (donc un simple série de Taylor). Il vient alors en faisant la

série de MacLaurin (donc la série de Taylor en en d'autres termes...) :

(17.210)

Donc nous voyons que f(z) n'a finalement aucun terme en puissance négative et donc que nous

avons éliminé la singularité (ou qu'elle n'en contient au fait pas... ce qui est facilement vérifiable

avec Maple).

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité éliminable, est de dire que le

développement de Laurent de la fonction ne contient aucun terme en puissance négative.

D2. Lorsque en la limite de n'existe pas, nous parlons de "singularité essentielle".

Par exemple, est une singularité essentielle pour la fonction:

(17.211)

En effet, si z tend vers zéro en venant de l'axe réel positif, la fonction diverge, plus

précisément, elle tend vers . Si z vient du côté , la fonction tend vers zéro comment le

montre bien le tracé Maple suivant:

>plot3d(abs(exp(1/(re+I*im))),re=-5..5,im=-5..5,view=[-3..3,-3..3,-0.5..3],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(17.212)

Effectivement:

(17.213)

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité essentielle, est de dire qu'il y a

un nombre infini de termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de

Laurent.

D3. Lorsque en la limite de est , nous parlons de "pôle".

Il s'agit de la dernière catégorie dans laquelle nous pouvons ranger une fonction qui n'est

classable ni dans la première, ni dans la deuxième définition précédentes.

Donc une autre manière équivalente de définir un "pôle", est de dire qu'il y a un nombre fini de

termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de Laurent. Si ce nombre de

termes est k, alors nous parlons de "pôle d'ordre k".

Nous pouvons également trouver encore une autre définition équivalente courante d'un pôle

(pour ceux qui aiment les définitions à relire...):

f(z) a un pôle d'ordre k à si et seulement si a une singularité éliminable en ,

mais avec n'en a pas.

Remarque: Nous disons parfois qu'une "singularité essentielle" est un pôle d'ordre infini.

Si nous prenons comme exemple:

(17.214)

Nous avons démontré plus haut que la série de Laurent était de cette fonction en était:

(17.215)

Donc la fonction précédente a un pôle d'ordre 1 en (et in extenso, nous devinons qu'elle

en a un aussi en ).

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