Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Les séries de Taylor et de MacLaurin,le polynôme,la série de MacLaurin limitée,les séries de tayl...
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Les séries de Taylor et de MacLaurin

Les séries de Taylor et de MacLaurin constituent un outil pratique très puissant pour simplifier des

modèles théoriques ou des calculs informatiques. Elles sont utilisées énormément dans tous les

domaines de la physique mais on les retrouve aussi dans l'industrie dans couramment en

ingénierie (plans d'expérience, méthodes numériques, gestion de la qualité), statistiques

(approximations d'intégrales), finance (processus stochastiques), analyse complexe... Nous

conseillons donc vivement au lecteur de bien lire les développements qui vont suivre.

Soit un polynôme (à une variable):

(11.121)

Nous avons trivialement pour ce dernier:

(11.122)

Soit maintenant la dérivée du polynôme P(x) :

(11.123)

donc:

(11.124)

et ainsi de suite avec P''(x),P'''(x),... tel que:

(11.125)

Il s'ensuit que:

(11.126)

Donc finalement notre polynôme peut s'écrire:

(11.127)

relation que nous appelons "série de MacLaurin limitée" ou tout simplement "série de MacLaurin".

En appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le polynôme sur la

valeur , nous avons:

(11.128)

et ainsi le développement précédent devient:

(11.129)

qui n'est d'autre que l'expression générale d'un polynôme exprimé sous une forme dite de "série

de Taylor limitée". Cette fonction peut être assimilée à un polynôme tant que n est fini. Mais

si n est infini, comme nous le verrons plus loin, cette série converge vers la fonction dont nous

cherchons la représentation sous forme de somme de termes.

Ainsi, certaines fonctions f(x) pouvant être approchés par un polynôme P(x) (une somme de

puissances autrement dit...) centré sur la valeur peuvent êtres exprimées sous la forme:

(11.130)

Par contre cette dernière relation n'est pas juste pour toutes les fonctions ne pouvant pas

s'exprimer sous forme de polynômes. Dès lors nous disons que la série n'est pas convergente pour

ces dernières. Nous en verrons un exemple plus bas.

La dernière relation s'écrit aussi de manière plus conventionnelle... :

(11.131)

Revenons brièvement à l'approximation de f(x) proche et centrée en :

(11.132)

Certaines personnes n'aiment pas utiliser cette formulation car on risque d'oublier que

l'approximation pour quelques termes n'est bonne tant que l'on ne s'éloigne pas trop

de avec x.

Raisons pour laquelle il arrive souvent que nous posions:

(11.133)

avec fixé et h variable mais petit (!) et dès lors il vient alors une forme d'écriture courante des

séries de Taylor:

(11.134)

Voyons un exemple d'application avec une série de MacLauin (avec étant nul) de la fonction

sin(x) et Maple:

>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);

>p11 := taylor(sin(x),x=0,12);

>p11 := convert(p11,polynom);

>with(plots):

>tays:= plots[display](sinplot):

for i from 1 by 2 to 11 do

tpl := convert(taylor(sin(x), x=0,i),polynom):

tays := tays,plots[display]([sinplot,plot(tpl,x=-Pi..2*Pi,y=-2..2,

color=black,title=convert(tpl,string))]) od:

>plots[display]([tays],view=[-Pi..2*Pi,-2..2]);

(11.135)

Nous voyons donc bien dans cet exemple que la série de MacLaurin ne permet que d'approcher

une fonction en un point avec un nombre limités de points. Mais plus nous prenons de termes

(mettre 100 termes dans l'exemples précédent) plus la validité est grande sur tout le domaine de

définition de la fonction. Au fait il est possible de démontrer que la fonction sin(x) est exactement

exprimable en série de MacLaurin lorsque le nombre de termes est infini. Nous disons alors que

son "reste" est nul.

Par contre ceci n'est pas vrai pour toutes les fonctions. Par exemple:

>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);

>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=0,10);

>p10 := convert(p10,polynom);

>with(plots):

>tays:= plots[display](xplot):

for i from 1 by 2 to 10 do

tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):

tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2,

color=black,title=convert(tpl,string))]) od:

>plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]);

(11.136)

Nous voyons bien ci-dessus que peu importe le nombre de termes que nous prenons, la série de

MacLaurin converge seulement dans un domaine de définition compris entre ]-1,1[. Cette

intervalle est appelé le "rayon de convergence" et sa détermination (celle des singularités) est un

point crucial dans de nombreux domaines de l'ingénierie, de la physique et de l'analyse. Nous y

reviendrons plus en détails dans le chapitre d'Analyse Complexe.

Par contre nous pouvons décaler la série de MacLaurin de la fonction précédente afin d'approcher

la fonction avec une série de Taylor en un autre point non singulier comme par exemple

en valant 2:

>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);

>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=2,10);

>p10 := convert(p10,polynom);

>with(plots):

>tays:= plots[display](xplot):

for i from 1 by 2 to 10 do

tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom):

tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2,

color=black,title=convert(tpl,string))]) od:

>plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]);

(11.137)

Nous étudierons une généralisation au plan complexe des séries de Talyor précédentes dans le

chapitre d'Analyse Complexe pour obtenir un résultat très puissant permettant aux physiciens de

calculer des intégrales curvilignes compliquées.

SÉRIES DE TAYLOR D'UNE FONCTION A 2 VARIABLES

Nous allons voir ici comment approcher une fonction f(x, y) de deux variables réelles en une

somme de puissances (série de Taylor). Ce type d'approximation est très utilisé dans de nombreux

domaines de l'ingénierie (cf. chapitre de Génie Industriel).

Nous cherchons donc une approximation de f(x, y) au point .

Pour cela, posons (rien ne nous interdit à priori de la faire) que:

et (11.138)

Nous avons alors:

(11.139)

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