Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie, Notes de Logique mathématique

PDF (162.0 KB)
4 pages
356Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de Schwarz, le reste de lagrange, la démonstration, le théorème de Rolle, la série ...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

La valeur de (l'astuce est là!):

(11.140)

peut être approchée en utilisant son expression en série de Taylor autour de la valeur 0 tel que:

(11.141)

Or, nous avons:

(11.142)

et:

(11.143)

Selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel):

(11.144)

Nous avons alors:

(11.145)

et on démontre par récurrence que:

(11.146)

Nous avons alors finalement:

(11.147)

ou sous une autre forme équivalente:

(11.148)

RESTE DE LAGRANGE

Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques (cf. chapitre de Méthodes

Numériques) à connaître l'erreur d'approximation du polynôme par rapport à la

fonction .

Définissons pour cela un "reste" , tel que:

(11.149)

La fonction est appelée "reste de Lagrange".

Considérons maintenant une fonction f(x) qui est fois dérivable sur un intervalle qui

contient . Pour une valeur x de l'intervalle, différente de , nous nous proposons de démontrer

qu'il existe un nombre z situé entre et x tel que:

(11.150)

Démonstration:

Soit une fonction g(t) une fonction définie par la différence d'une fonction f(x) supposé connue et

une approximation de Taylor de cette même fonction:

(11.151)

avec bien sûr:

(11.152)

Nous voyons que g(t) s'annule bien pour la valeur .

Dérivons maintenant g(t) par rapport à t, nous trouvons:

(11.153)

Après simplification:

(11.154)

Selon le théorème de Rolle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), il existe une

valeur pour lequel la dérivée s'annule. Donc:

(11.155)

Nous pouvons simplifier l'équation par :

(11.156)

ce qui s'écrit aussi:

(11.157)

et nous trouvons donc pour maximum de :

(11.158)

C.Q.F.D.

Nous voyons que plus le polynôme est de degré élevé, plus il approxime la

fonction f(x) avec exactitude. Que se passe-t-il lorsque ?

(11.159)

Supposons que f(x) admette des dérivées de tout ordre (ce que nous notons ) pour toutes les

valeurs d'un intervalle quelconque contenant et soit le reste de Lagrange de f(x) en . Si,

quel que soit x dans l'intervalle:

(11.160)

alors f(x) est exactement représentée par P(x) sur l'intervalle.

Démonstration:

Elle découle simplement de l'expression de lorsque .

Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour , la correspondance avec la

fonction approchée est parfaite et donc le reste est nul.

C.Q.F.D.

Le polynôme:

(11.161)

est appelé "polynôme de Taylor" ou "série de Taylor". Si , il est appelé "polynôme de

MacLaurin" ou "série de MacLaurin".

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome