Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les séries de Taylor et de MacLaurin - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de Schwarz, le reste de lagrange, la démonstration, le théorème de Rolle, la série ...
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La valeur de (l'astuce est là!):

(11.140)

peut être approchée en utilisant son expression en série de Taylor autour de la valeur 0 tel que:

(11.141)

Or, nous avons:

(11.142)

et:

(11.143)

Selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel):

(11.144)

Nous avons alors:

(11.145)

et on démontre par récurrence que:

(11.146)

Nous avons alors finalement:

(11.147)

ou sous une autre forme équivalente:

(11.148)

RESTE DE LAGRANGE

Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques (cf. chapitre de Méthodes

Numériques) à connaître l'erreur d'approximation du polynôme par rapport à la

fonction .

Définissons pour cela un "reste" , tel que:

(11.149)

La fonction est appelée "reste de Lagrange".

Considérons maintenant une fonction f(x) qui est fois dérivable sur un intervalle qui

contient . Pour une valeur x de l'intervalle, différente de , nous nous proposons de démontrer

qu'il existe un nombre z situé entre et x tel que:

(11.150)

Démonstration:

Soit une fonction g(t) une fonction définie par la différence d'une fonction f(x) supposé connue et

une approximation de Taylor de cette même fonction:

(11.151)

avec bien sûr:

(11.152)

Nous voyons que g(t) s'annule bien pour la valeur .

Dérivons maintenant g(t) par rapport à t, nous trouvons:

(11.153)

Après simplification:

(11.154)

Selon le théorème de Rolle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), il existe une

valeur pour lequel la dérivée s'annule. Donc:

(11.155)

Nous pouvons simplifier l'équation par :

(11.156)

ce qui s'écrit aussi:

(11.157)

et nous trouvons donc pour maximum de :

(11.158)

C.Q.F.D.

Nous voyons que plus le polynôme est de degré élevé, plus il approxime la

fonction f(x) avec exactitude. Que se passe-t-il lorsque ?

(11.159)

Supposons que f(x) admette des dérivées de tout ordre (ce que nous notons ) pour toutes les

valeurs d'un intervalle quelconque contenant et soit le reste de Lagrange de f(x) en . Si,

quel que soit x dans l'intervalle:

(11.160)

alors f(x) est exactement représentée par P(x) sur l'intervalle.

Démonstration:

Elle découle simplement de l'expression de lorsque .

Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour , la correspondance avec la

fonction approchée est parfaite et donc le reste est nul.

C.Q.F.D.

Le polynôme:

(11.161)

est appelé "polynôme de Taylor" ou "série de Taylor". Si , il est appelé "polynôme de

MacLaurin" ou "série de MacLaurin".

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