Notes sur les structures algébriques - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les structures algébriques - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les structures algébriques - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'algèbre moderne, magma, monoïde, les groupes.
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Structures algébriques.

L'algèbre dite "algèbre moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en

partie à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures existent en un très grand nombre

mais seulement les fondamentales nous intéresseront ici. Avant des les détailler, voici un

diagramme synoptique des ces principales grandeurs et de leur hiérarchie :

(5.114)

Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au nombre minimal de contraintes, en bas, un

maximum. Soit, plus nous descendons, plus la structure est en quelque sorte spécialisée.

Soit pour simplifier les écritures, une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la

multiplication ou encore la division,...)...

Remarque: Cette notation généralisée est parfois appelée "notation stellaire".

Définitions: Soit et des symboles de lois internes à un ensemble E (cela pourrait être l'addition

et la multiplication pour prendre le cas le plus connu) alors :

D1. est une "loi commutative" si :

(5.115)

D2. est une "loi associative" si :

(5.116)

D3. n est "élément neutre"pour si :

(5.117)

Nous admettrons par ailleurs sans démonstration (c'est intuitif) que s'il existe un élément neutre, il

est unique.

D4. a' est "l'élément symétrique" (dans le sens général de l'opposé par exemple pour l'addition et

l'inverse pour la multiplication) de a pour si :

(5.118)

Nous admettrons également et sans démonstration que le symétrique de tout élément est unique.

D5. est une "loi distributive" par rapport à si :

(5.119)

D6. b est "l'élément absorbant" si pour tout a et une loi nous avons:

(5.120)

Remarques:

R1. Si a est son propre symétrique par rapport à la loi , les mathématiciens disent que a est

"involutif"

R2. Si un élément b de E vérifie , alors b est dit "élément absorbant" pour la loi .

R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques le soient "à gauche" et "à droite".

Ainsi, par exemple, dans , l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite

car mais .

4.1. MAGMA

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "magma" M , si les composants le

constituant sont opérables par rapport une loi interne . :

est un magma si

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est commutative, nous parlons de "magma commutatif"

R2. Si de plus la loi interne est associative, nous parlons de "magma associatif"

R3. Si de plus la loi interne possède un élément neutre, nous parlons de "magma unitaire"

Il est donc important de se rappeler que si nous désignons une structure algébrique par le terme

"magma" tout court, cela ne signifie en aucun cas que la loi interne est commutative, associative

ou même qu'elle possède un élément neutre !

Définition: Dans un magma , un élément x est dit "élément régulier" (ou "élément

simplifiable") à gauche si pour tout couple nous avons :

(5.121)

Remarque: Nous définissons de même un élément régulier à droite.

Ainsi, un élément est dit "régulier" s'il est régulier à droite et à gauche. Si * est commutative (ce

qui est le cas pour un magma commutatif), les notions d'élément régulier à gauche ou à droite

coïncident.

Exemple:

Dans tout élément est régulier et dans tout élément non nul est régulier.

Un magma est donc une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus

subtiles (monoïdes, groupes, anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble

est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés. Nous allons les voir de suite et les utiliser

tout au long de ce site.

4.2. MONOÏDE

Définition: Si la loi est associative et possède un élément neutre nous disons alors que le

"magma associatif unitaire" est un "monoïde" :

est un monoïde si

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est en plus commutative alors nous disons alors que la structure

forme un "monoïde abélien" (ou simplement "monoïde commutatif").

R2. Dans certains ouvrages nous trouvons aussi comme définition que le monoïde est un "demi-

groupe" (avec une loi associative) muni d'un élément neutre.

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers naturels est un monoïde abélien totalement

ordonné (comme nous l'avons partiellement vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux

lois d'addition et de multiplication :

La loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que nous ayons :

(5.122)

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à tel que :

(5.123)

Donc et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble est

"stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à

lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous

rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de

multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et

que le zéro "0" en est l'élément neutre (n). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative

et il est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).

Par ailleurs, pour parler déjà de quelque chose qui n'est pas directement en relation avec le

monoïde... mais qui nous sera utile un peu plus loin, existe-t-il en restant dans la lignée de

l'exemple précédent pour la loi d'addition ( + ) un symétrique tel que nous ayons:

(5.124)

avec ?

Il est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous ayons:

(5.125)

soit:

a + b = -c (5.126)

or les nombres négatifs n'existent pas dans . Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi

d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans (la

soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

De même, car cela va aussi nous être utile un peu plus loin, existe-t-il pour la loi de

multiplication ( x ) un symétrique a' tel que nous ayons :

(5.127)

avec ?

D'abord il est évident que:

(5.128)

Mais excepté pour , le quotient 1/a n'existe pas dans . Donc nous devons conclure qu'il

n'existe pas pour tout élément de de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi

de division n'existe pas dans et que la loi de multiplication ne forme pas un monoïde dans cet

ensemble.

Synthèse:

(lois) (+) (-) (x) (/)

Opération interne oui

non

oui

non

Commutative oui oui

Élément neutre oui

(zéro "0")

oui

(un "1")

Élément absorbant non oui

(zéro "0")

Symétrique non non

Tableau: 5.1 - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers naturels

Nous avons par exemple les propriétés suivantes relativement à l'ensemble des entiers naturels et

au concept de monoïde:

P1. est totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait

juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. et sont des monoïdes abéliens.

P3. L'élément zéro "0" est l'élément absorbant pour le monoïde .

P4. Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble .

P5. est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de

multiplication (attention la notation suivante est abusive car le monoïde est composé que d'une

seule loi interne et d'une relation d'ordre Rce qui donnerait au total 4 monoïdes):

(5.129)

Remarques:

R1. Il est rare d'utiliser les monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure

trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons vers quelque chose de plus riche,

comme un groupe, ou un anneau (voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.

R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par rapport à certaines lois signifie que

soit une loi, et R une relation d'ordre et a,b,c,d quatre éléments de la structure intéressée, alors

si aRb et cRdimplique . Nous notons alors cette structure ou simplement

(S,R) et en indiquant la (ou les) loi concernée.

4.3. GROUPES

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant

satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-

dessous:

est un groupe si

Dans ce cas, la loi de compositions interne sera souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et

appelée "l'addition", le neutre e noté "0" et le symétrique de x noté "-x".

Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement une des plus importantes dans la

pratique de l'ingénieur et de la physique moderne en général. Raison pour laquelle il convient d'y

porter une attention toute particulière (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!

Si de plus, la loi interne est également commutative, nous disons alors que le groupe est un

"groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

S'il existe dans G au moins un élément a tel que tout élément de G est une puissance de a ou du

symétriquea' de a, nous disons que est un "groupe cyclique de générateur a" s'il est fini,

sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous reviendrons sur les groupes cycliques dans le

chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Plus généralement un groupe d'élément neutre e, non réduit uniquement à {e} sera

monogène, s'il existe un élément a de G distinct de e tel que . Un tel

groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non nul pour lequel . Le plus petit entier non

nul vérifiant cette égalité est alors "l'ordre du groupe".

Exemple:

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs est un groupe abélien totalement

ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des Opérateurs) par rapport aux lois d'addition

et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble est un

"prolongement" de par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétriques de signe

négatif ( ).

Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe n'a qu'une seule loi et une

seule relation d'ordre R suffit à l'ordonner):

(5.130)

forme un groupe abélien totalement ordonné (4 groupes au fait!) et:

(5.131)

un monoïde abélien (deux monoïdes au fait!) totalement ordonné.

Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément de l'ensemble ! Donc en

toute généralité nous disons qu'elle n'y existe pas.

Synthèse :

(lois) (+) (-) (x) (/)

Opération interne oui oui oui non

Associative oui non oui

Commutative oui non oui

Élément neutre oui

(zéro "0")

non

(0 pas neutre à gauche)

oui

(un "1")

Élément absorbant non non oui

(zéro "0")

Symétrique oui

(signe opposé) oui non

Tableau: 5.2 - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers relatifs

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1. est totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un peu abusive! il

suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement

ordonné).

P2. est un groupe commutatif dont zéro "1" est l'élément neutre.

P3. La loi de division n'existe pas dans l'ensemble .

P4. L'ensemble est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition

(attention la notation suivante est encore une fois abusive car le groupe est composé que d'une

relation d'ordre R ce qui donnerait au total 2 groupes):

(5.132)

L'ensemble n'est pas un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la loi de

multiplication :

(5.133)

Nous voyons de suite alors que a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il

est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels défini de manière très simpliste...

par (cf. chapitre sur les Nombres):

(5.134)

Ce qui signifie pour rappel que l'ensemble des rationnels et défini par l'ensemble des

quotients p et q appartenant chacun à dont nous excluons à q de prendre la valeur nulle (la

notation /q signifiant l'exclusion).

Et nous avons évidemment:

(5.135)

Il est dès lors évident (sans démonstration et toujours en utilisant la notation abusive déjà

commentée mainte fois plus haut...) que est aussi totalement ordonné et aussi

que est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition seulement :

(5.136)

Ce qui devient intéressant avec , c'est que la loi de multiplication devient une loi interne et

forme un groupe abélien commutatif dit "groupe multiplicatif" par rapport à .

Démonstration:

Démontrons donc que le symétrique existe pour la loi de multiplication (.) tel que:

(5.137)

Puisque dans tout nombre peut se mettre sous la forme:

(5.138)

avec .

Alors puisque:

(5.139)

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans pour la loi de multiplication.

C.Q.F.D.

Par définition, ou par construction, la division existe dans et est une opération interne. Mais

est-elle associative telle que pour nous ayons:

(5.140)

Démonstration:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir

de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est (elle!) associative. Ainsi, il vient

:

(5.141)

Donc la loi de division n'est pas associative dans .

C.Q.F.D.

Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la

relation:

(5.142)

pour ?

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière

relation sous la forme:

(5.143)

Synthèse:

(lois) (+) (-) (x) (/)

Opération

interne oui oui oui oui

Associative oui non oui non

Commutative oui non oui non

Élément neutre oui

(zéro "0")

non

(0 pas neutre à gauche) oui

(un "1")

oui

("1" neutre à droite)

Élément abs. non non oui

(zéro "0")

oui

("0" au numérateur)

Symétrique oui

(signe opposé)

oui

(signe opposé)

non

(excepté dans ) non

Tableau: 5.3 - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des rationnels

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1. est totalement ordonné

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