Notes sur les structures algébriques - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les structures algébriques - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les structures algébriques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les anneaux, les sous-anneaux, les corps, les espaces vectoriels (EV), les algèbres.
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P2. sont indépendamment des groupes abéliens totalement ordonnés

P3. Zéro "0" est l'élément absorbant par rapport groupe

P4. L'ensemble est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de

multiplication que nous notons :

et (5.144)

Les mêmes propriétés sont applicables à et à mais à la différence que ce dernier n'est pas

ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour vous soyez sceptiques. Développons donc

tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres

de la forme donne quelque chose d'encore de cette forme.

Additionnons les nombres et où a, b, c et d sont des réels :

(5.145)

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un

élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Soustrayons les nombres et où a, b, c et d sont ici encore, des réels :

(5.146)

Donc la soustraction est une opération interne elle n'est ni commutative, ni associative elle n'a pas

d'élément neutre à gauche et pas de symétrique.

Multiplions maintenant les nombres et où a, b, c et d là toujours, des réels. Pour

parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

(5.147)

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et

distributive (!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans (voir ci-après) dans

l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est

prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le

nombre où x et y sont des réels (différents de zéro):

(5.148)

Donc l'inverse d'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non

commutative pour laquelle il existe un élément neutre, et elle est symétrique. Il en est de même

pour la division, qui correspond au produit par l'inverse d'un nombre complexe.

Voyons un exemple de groupe cyclique : Dans , considérons G={1,i,-1,-i} muni de la

multiplication usuelle des nombres complexes. Alors est évidemment un groupe abélien.

Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments : i (ou

bien -i). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

4.4. ANNEAUX

L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure algébrique correspondant aux

concepts collégiens d'addition, de soustraction, et de multiplication.

Définition: Un groupe commutatif (ou "groupe abélien") A est un "anneau" s'il est muni d'une

seconde loi de composition interne vérifiant les propriétés suivante :

est un anneau si

Comme nous le savons déjà, l'élément neutre de la première loi de composition interne + est noté

"0" et appelé "zéro" de l'anneau. La deuxième loi interne est souvent notée par un point à demi-

hauteur et appelée la "multiplication".

Remarques:

R1. Si de plus, la deuxième loi interne de composition est également commutative, l'anneau est

dit "anneau commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs dans lesquels la

relation de commutativité n'est pas imposée, il faut alors renforcer la propriété de l'élément neutre

de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être un élément neutre à la fois à droite et à gauche tel que

: (un exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des matrices à

coefficients dans un anneau A, par exemple - voir chapitre d'Algèbre Linéaire).

R2. Si de plus, il existe dans A un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne , et

que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est un "anneau unitaire" et 1 est

appelé "unité" de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre pour la

deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau commutatif unitaire"

R3. Si , quels que soient les éléments a,b de A, l'anneau est dit "anneau

intègre" ou "anneau sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il est bien évidemment "non

intègre").

R4. Un "anneau factoriel" est un anneau commutatif unitaire et intègre dans lequel le théorème

fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.

Définitions:

D1. Un élément a d'un anneau A est un "élément unité" s'il existe tel que . Si un

tel bexiste il est unique (nous en avons vu un exemple lors de notre étude des classes de

congruence en théorie des nombres).

D2. Soit A un anneau. Nous disons que A possède des diviseurs de zéro s'il

existe avec et . Les éléments a et b sont appelés des "diviseurs de

zéro".

Remarques:

R1. Il est clair qu'un anneau est intègre si et seulement si il ne possède aucun diviseur de zéro.

R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut

être ni l'un ni l'autre. C'est le cas, par exemple, de tous les entiers dans . Ce ne sont ni

des unités, ni des diviseurs de zéro.

Nous verrons un exemple important d'anneau lors du cadre de notre étude des polynômes (cf.

chapitre de Calcul Algébrique) mais nous en avons déjà vu de très importants lors de notre étude

des classes de congruences dans le chapitre de théorie des nombres.

Voyons quelques exemples d'anneaux : Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé que

les structures :

(5.149)

sont tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont en plus totalement ordonnés.

La loi de division n'étant en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour

chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Ainsi, il vient très vite que:

(5.150)

constituent des anneaux commutatifs unitaires et intègres.

Remarque: Nous considérerons comme évident, à ce niveau du discours, que le lecteur aura remarqué que

est un "sous-anneau" de dans le sens où les opérations définies sont internes à chacun des

ensembles et que les éléments neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour chaque élément de

ces ensembles un opposé qui est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le concept de sous-

anneau un peu plus loin.

Soit A un anneau. Nous avons les propriétés suivant :

P1.

P2.

P3.

Démonstrations:

DM1. La propriété P1 découle de la définition D4 des structures algébriques (tout élément possède

un opposé/symétrique). En effet, nous pouvons additionner à l'égalité l'élément -a.

Nous obtenons alors par l'existence de l'opposé cela

donne d'où

DM2. La propriété P2 découle des définitions D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence de

l'opposé/symétrique), D5 (distributivité par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété P1 ci-

dessus. En effet, nous avons :

(5.151)

Nous avons donc . La propriété P1 ci-dessus permet de conclure que (nous

pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration...).

DM3. La propriété P3. se montre à l'aide de P2. Nous avons :

(5.152)

en ajoutant -a à cette dernière égalité, nous avons:

(5.153)

C.Q.F.D.

SOUS-ANNEAU

Définition: Soit A un anneau et un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-

anneau" deA si :

P1. (élément neutre de A est aussi dans S)

P2.

P3.

P4.

Exemple:

L'anneau est un sous-anneau de

4.5. CORPS

Définition: Nous désignons un ensemble de nombres par le terme "corps" si :

est un corps si

Donc un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible ou en

d'autres termes : un anneau dont tous les éléments non nuls sont des unités est un corps.

Remarques:

R1. Si la loi interne est également commutative, le corps est dit "corps commutatif".

R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les Nombres) forment par exemple un corps non commutatif

pour l'addition et la multiplication.

Voyons des exemples de corps parmi les anneaux unitaires suivant :

(5.154)

Il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne

de multiplication ( ).

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il

nous faut éliminer à cause de l'existence des inverses qui n'est pas assurée dans cet

ensemble.

Ainsi, les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:

(5.155)

et puisque la loi de multiplication ( ) est commutative dans ces ensembles, nous pouvons

affirmer que ces corps sont également des corps commutatifs.

Nous avons souvent dans les petites classes le schéma suivant pour le corps le plus important:

(5.156)

Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de nombres réels ou complexes a tels que la somme,

la différence, le produit et le quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au

même système C.

Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante : les nombres d'un corps se

reproduisent par les opérations rationnelles (addition, soustraction, multiplication, division). Ainsi,

il est évident que le nombre zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et

l'ensemble des entiers ne peut former un corps car la division dans l'ensemble des nombres

entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.

4.6. ESPACES VECTORIELS

Lorsque nous définissons un "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons

habituellement référence à un "espace euclidien" (cf. aussi chapitre de Calcul Vectoriel)

de n dimensions de . Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup plus

vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.

Définition: Un "espace vectoriel (EV)" ou "K-espace vectoriel" (abrégé : K-ev) sur le corps K (nous

prendrons fréquemment pour ce corps ou ) est un ensemble possédant les

propriétés :

(5.157)

Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations traditionnelles des vecteurs

qui sera peut-être plus parlante et utile pour la suite...):

1. Une loi de composition interne: l'addition notée + qui vérifie:

1.1. Associativité:

1.2. Commutativité:

1.3. Élément neutre:

1.4. Élément opposé:

2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire, notée , qui vérifie:

2.1. Associativité:

2.2. Distributivité:

2.3. Distributivité:

2.4. Élément neutre (de K sur E):

Remarques:

R1. Nous disons alors que l'espace vectoriel à une "structure algébrique vectorielle" et que ces

éléments sont des "vecteurs", les éléments de K des "scalaires".

R2. Les opérations respectives s'utilisent fréquemment comme l'addition et la multiplication que

nous connaissons bien sur , ce qui est bien commode pour nos habitudes….

R3. Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps K et de l'ensemble E, nous noterons ceux

de K par des lettres grecques et ceux de E par des lettres latines majuscules.

R4. Outre les cinq propriétés énumérées ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres

propriétés du groupe abélien (opération interne, commutativité, associativité, élément neutre,

élément inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés à respecter.

Il est inutile de démontrer que ces propriétés sont respectées pour et, par conséquent

pour . Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de certains sous-ensembles

de .

Exemples:

E1. Considérons la région rectangulaire illustrée dans la figure (a) (et en perspective dans la figure

(c)) ci-dessous :

(5.158)

Ce sous-ensemble de n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété d'opération

interne du groupe abélien n'est pas satisfaite. En effet, si nous prenons deux vecteurs à l'intérieur

du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le résultat sorte du rectangle. Par contre,

il est facile de voir que la droite (infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes les propriétés

énumérées précédemment et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons bien, cependant,

que cette droite se doit de passer par l'origine, sinon la propriété d'élément neutre du groupe

abélien ne serait pas respectée (l'élément neutre n'existant plus).

E2. Un autre exemple d'un espace vectoriel est l'ensemble des polynômes de degré deux ou

moins (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par exemple, deux éléments de cet espace sont :

(5.159)

Cet ensemble respecte les 10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si nous additionnons deux

polynômes de degré deux ou moins, nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins.

Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire sans changer l'ordre (ou degré) de

celui-ci, etc. Nous pouvons donc représenter un polynôme par des vecteurs dont les termes sont

les coefficients du polynôme.

Mentionnons que nous pouvons aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de

fonctions plus générales que des polynômes. Il importe seulement de respecter les dix propriétés

fondamentales d'un espace vectoriel !

Ainsi défini, un espace vectoriel E sur K est une action de sur qui est compatible avec

la loi de groupe (par extension un "automorphisme" - voir la définition plus loin - sur ).

Définition: Soit E un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace vectoriel" (SEV) F de E un sous-

ensemble deE si et seulement si :

(5.160)

4.7. ALGÈBRES

Une "C-algèbre A" où C est un corps commutatif, est un ensemble A muni de deux lois de

composition internes + (addition) et (produit) et d'une loi externe (multiplication) à domaine

d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement si :

(5.161

)

Exemples:

E1. Pour reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples vectoriels, l'espace

euclidien muni de l'addition (+), de la multiplication et du produit vectoriel est une

-algèbre non associative et non commutative notée .

E2. est une -algèbre (un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à deux

composantes selon ce que nous avons dans le chapitre des Nombres).

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