Notes sur les symboles de Christoffel - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les symboles de Christoffel - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les symboles de Christoffel - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les expressions, les calculs.
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Considérons maintenant un espace ponctuel et soit un élément linéaire donné de cet

espace:

(14.291)

Partant de:

(14.292)

nous obtenons par différentiation:

(14.293)

L'expression des différentielles nous donne:

(14.294)

L'expression représente la composante covariante du vecteur soit compte tenu

des composantes contravariantes en fonction des symboles de Christoffel:

(14.295)

substituant la relation dans l'expression précédente, nous obtenons alors :

(14.296)

La différentielle s'écrit alors :

(14.297)

D'autre part, la différentielle de la fonction s'écrit également :

(14.298)

d'où en identifient les coefficients des différentielles dans ces deux dernières expressions :

(14.299)

Comme nous avons :

(14.300)

Nous pouvons écrire l'avant dernière relation :

(14.301)

puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, nous obtenons :

(14.302)

En effectuant la somme :

(14.303)

et en retranchant :

(14.304)

En simplifiant il vient :

(14.305)

d'où :

(14.306)

C'est l'expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des dérivées

partielles des composantes du tenseur fondamental.

Nous obtenons ceux de deuxième espèce à partir de la relation (par définition):

(14.307)

Les deux dernières expressions encadrées permettent le calcul effectif des symboles de

Christoffel pour une métrique donnée (d'où un énorme gain en calculs). Lorsque les

quantités sont données à priori, nous pouvons ainsi étudier les propriétés de l'espace

ponctuel défini par la donne de cette métrique, ce qui est le cas des espaces de Riemann que

nous verrons plus loin.

Exemple:

Proposons-nous de calculer les correspondant au système de coordonnées polaires (ce

sera déjà suffisamment long...) dans le plan que nous noterons cette fois ci (contrairement au

chapitre de Calcul Vectoriel) en notation indicielle :

avec (14.308)

Nous allons calculer les symboles de Christoffel à partir de notre dernière relation :

(14.309)

Occupons nous de déterminer les composants de la métrique. Au fait, elles sont les mêmes que

celles que nous avions calculé pour les coordonnées cylindriques plus haut à la différence

normalement évidente que n'existe pas. Dès lors, nous avons :

(14.310)

Calculons alors les . Dans cet exemple c'est assez trivial, il suffit d'appliquer la relation

démontrée au début de ce chapitre :

(14.311)

Nous avons alors immédiatement :

(14.312)

Maintenant développons l'écriture de symboles de Christoffel pour ces coordonnées :

(14.313)

d'où en raison des propriétés de symétrie :

(14.314)

De même :

(14.315)

En résumé :

(14.316)

Et pour information dans le cas des coordonnées sphériques (le développement est primaire,

ennuyant et long donc j'ai pas trop envie de le faire...) :

(14.317)

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