Notes sur les systèmes d'unités - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les systèmes d'unités - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les systèmes d'unités - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'analyse dimensionnelle, les notations scientifiques, les temps.
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Définition: Une "grandeur" est l'expression nomologique quantitative d'une propriété, d'un effet

ou d'une quantité abstraite définie par un modèle que présente l'objet ou le phénomène étudié.

Une grandeur ne s'explique pas, elle se décrit par rapport à une définition.

Nous reconnaissons deux types de grandeurs :

- Les constantes : elles possèdent une valeur concrète exprimable numériquement et n'évoluent

pas au cours du phénomène étudié. Ce sont des "grandeurs passives" (nous y reviendrons plus

loin et énumérerons quelques unes d'entre elles)

- Les variables : elles ne possèdent une valeur concrète que dans un état déterminé, mais pas

lorsque nous observons le phénomène physique dans son ensemble. Ce sont des "grandeurs

actives". Les différentes variables décrivant un phénomène physique sont souvent corrélées

entre-elles par le biais de fonctions. Nous disons alors par définition que ces variables ont une

"relation fonctionnelle" entre elles.

Remarque: Une grandeur n'a de sens que si elle est "observable", grandeur à laquelle nous

associons un nombre, résultat d'une mesure effectuée à l'aide d'un appareil.

Mesurer une grandeur physique revient à la comparer à une grandeur physique connue, de

même nature (nous disons aussi "de même dimension"), pris comme étalon arbitraire. Le

résultat de la mesure s'exprime ainsi à l'aide de deux éléments :

- un nombre qui est le rapport de la grandeur mesurée à la grandeur étalon

- un nom identifiant l'étalon choisi

Le "nombre" constitue au fait la valeur mesurée de la grandeur et le "nom" est ce que nous

appelons communément "unité physique", ou plus simplement "unité" (l'expression quantitative

d'une variable ou d'une fonction). Ces deux éléments sont indissociables, la valeur mesurée n'a

de sens que si nous indiquons en même temps l'unité choisie. Elle change si nous changeons

d'unité.

Remarque: Le passage d'une unité à une autre pour exprimer une même grandeur est appelé

"conversion d'unité".

Définition: Certaines grandeurs peuvent, par souci de simplification d'écriture, s'exprimer à

partir d'autres grandeurs. Nous disons alors que la nouvelle grandeur "dérive" des unités de

bases. Nous disons également que deux grandeurs physique sont des "grandeurs homogènes"

si elles sont de même nature physique ou si nous pouvons les exprimer toutes les deux dans la

(les) même(s) unité(s) de base.

Ainsi, après un longue période de réflexion, et en dernière analyse le monde physique semble

pouvoir se ramener aux concepts d'espace, d'énergie et de temps.

Ainsi apparaît donc une autre définition possible de la physique :

Définition: La physique est la science des propriétés et des relations mutuelles dans le temps de

la matière et de l'énergie à un facteur de charge près.

Notre rôle consiste donc à donner une description de ces propriétés et relations sous forme de

lois ou relations physiques appliquées aux phénomènes observés, dans le cadre d'une théorie

fournissant les éléments de prévision.

Les grandeurs physiques ne sont pas toutes indépendantes les unes des autres mais reliées

entre elles par certaines lois ou relations. Il serait alors peu raisonnable, quoique possible, de

choisir une unité particulière pour chacune des grandeurs physiques sans tenir compte de leurs

relations mutuelles.

Constituer un système cohérent d'unités revient donc à déterminer un nombre minimum

d'unités qui établissent les règles de construction de ces relations mutuelles. Ce sont les "unités

fondamentales". A partir des lois physiques et les relations entre les différentes unités

fondamentales, nous déduisons les unités des autres grandeurs qui deviennent alors par souci

de simplification d'écriture les "unités dérivées".

Les unités fondamentales sont au nombre de quatre (nous le justifierons plus loin): la longueur

(mètres), la masse (kilogrammes), le temps (secondes), la charge électrique (coulombs). Le

système ainsi constitué est le système M.K.S.C. (l'auteur assume le choix d'ajouter le Coulomb).

Les unités du système M.K.S.C sont donc :

1. Le mètre [m], pour la longueur L (nous avons déjà défini le concept de longueur dans le

chapitre Géométrie mais nous y reviendrons à nouveau plus loin)

2. Le kilo [kg], pour la masse M (nous reviendrons plus loin sur la définition du concept de

masse)

3. La seconde [s], pour le temps T (le temps n'est pas mesurable en soi mais l'intervalle de

temps est un concept arbitraire tout à fait valable - nous reviendrons également plus loin

sur la définition de ce concept)

4. Le coulomb [C] utilisé comme unité élémentaire de charge électrique q (ne dérive d'aucune

unité connue à ce jour - nous reviendrons également plus loin sur la définition de ce concept).

Remarques:

R1. Le concept d'angle (en radians, degrés ou stéradian - voir les textes traitant de la

trigonométrie plane, trigonométrie sphérique et géométrie plane dans la section de géométrie) n'a

pas d'unité puisqu'il s'agit par définition d'un rapport de longueurs (pour le radian ou le degré

d'angle) ou de surface (pour le stéradian). Il convient donc de l'assimiler à une unité dérivée non

pas comme unité fondamentale. Cependant, en physique, nous avons pris pour habitude

d'indiquer sa présence dans les équations dimensionnelles afin d'aider à la relecture de certaines

de celles-ci et de savoir que leur résultat est donné par rapport à une unité d'angle (sinon cela

pourrait générer des erreurs d'interprétation hasardeuses pour ceux qui utilisent des équations

sans en avoir vu la démonstration...).

R2. Le lecteur remarquera que toutes les unités du système M.K.S.C. sont des "grandeurs

extensives" c'est-à-dire que dans un système sur lequel nous effectuons une mesure, celles-ci

sont additives (contrairement aux grandeurs intensives). Nous reviendrons plus en détails sur les

grandeurs extensives et intensives en grande partie lors de notre étude de la thermodynamique

(voir chapitre du même nom).

R3. C'est une énorme chance d'avoir un système homogène tel que celui que nous avons au

21ème siècle. Effectivement, pour l'anecdote, en 1522 rien que dans la région de Baden

(Allemagne) il y avait 112 unités de mesures différentes de longueur et 92 de surfaces.... c'est

dire... le cauchemar!

Ces précisions étant faites, toute grandeur physique connue à ce jour peut être exprimée à

l'aide d'une unité qui s'exprime comme le produit de cinq facteurs dimensionnels et d'un

facteur d'échelle arbitraire K :

(28.1)

où les nombres appelés respectivement "ordre de masse", "ordre de longueur",

"ordre de temps", "ordre d'angle" et "ordre de charge" sont des entiers positifs, négatifs ou nuls.

L'expression précédente s'écrira sous la "forme canonique" définie par les étalons:

(28.2)

l'angle n'ayant pas d'unité, nous ne le notons plus (mais il s'y trouve implicitement).

Toute grandeur physique X s'exprime donc comme:

(28.3)

où x est la valeur de la grandeur physique dans le système d'unité associé au facteur

d'échelle K. Il existe plusieurs couples (x, K) possibles, mais nous aurons toujours:

(28.4)

où la constante est la valeur de la grandeur physique lorsque nous choisissons de l'exprimer

dans le système M.K.S.C.

Donc deux grandeurs physiques et sont homogènes si et seulement si les quadruplets:

(28.5)

qui leur sont attachés sont égaux:

(28.6)

Il découle, de ce que nous avons dit, que :

- La somme ou la différence d'un nombre quelconque de grandeurs n'a un sens que si ces

grandeurs sont homogènes et le résultat aura donc les mêmes unités que les opérandes.

- Le produit ou la division de plusieurs grandeurs a pour unité le produit, respectivement la

division des unités des opérandes.

Remarques:

R1. Les unités des différentes grandeurs ont un côté pratique mais pas infaillible en physique

théorique: elles permettent cependant au physicien de vérifier si une relation démontrée entre

deux grandeurs est au moins correcte au niveau des unités. Nous appelons ce genre de démarche

une "analyse dimensionnelle" (nous vous conseillons d'aller voir la démonstration de la loi de

Stokes dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus pour un très bon exemple

d'application).

R2. Le développement des sciences a conduit la conférence générale des poids et mesures à

introduire quelques unités supplémentaires pratiques (mais pas nécessaires) telles que: la

température exprimée en "Kelvins" (qui dérive de l'énergie moyenne - mouvement brownien), la

quantité de matière exprimée en Moles, l'intensité de courant exprimée en Ampères et l'intensité

lumineuse exprimée en Candelas. Ainsi, le Système International (S.I.) actuel, composé de sept

unités de base (centimètre, gramme, seconde, kelvin, candela, mole et l'ampère) et de dix-sept

unités dérivées suggère-t-il que sept unités sont nécessaire décrire toute la physique ? En fait non

! Comme l'analyse de Gauss le suggère, parmi les sept unités de base, quatre - le Kelvin, le

Candela, la Mole et l'Ampère - peuvent être dérivées des trois autres. L'introduction de sept

unités de base représente un équilibre pragmatique des expérimentateurs qui ont besoin d'unités

adaptées à leurs mesures, et l'idéalisme des théoriciens, dont le but est de réduire l'arbitraire, la

redondance, à son minimum.

ANALYSE DIMENSIONNELLE

L'analyse dimensionnelle est donc un domaine de la physique qui concerne les unités des

grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient relativement arbitraires fait que toute

équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par

seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes par mètre. C'est

un moyen très prisé et très efficace de vérifier ses propres calculs (et celui des autres...).

La puissance prédictive de cette approche valable dans des cas d'études simples a amené

certains physiciens à énoncer le "principe zéro" de la physique ainsi : Ne jamais faire de calculs

avant d'en connaître le résultat.

Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement : Ne pas se lancer (si

possible...) dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du

résultat avec l'analyse dimensionnelle.

Cette forme qualitative est nommée traditionnellement "l'équation aux dimensions" et

représente donc la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le

résultat d'une recherche. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on

représente les phénomènes mesurés par un symbole d'unité comme ceux que nous avons vus

dans les paragraphes plus haut.

Exemple:

Voyons donc un exemple de légende souvent cité dans divers magazines ou livres de

vulgarisation:

L'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie

dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top

secret. Il lui a suffit pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu public

par les militaires américains.

Le physicien Taylor suppose pour arriver à ce résultat que le processus d'expansion de la

sphère de gaz dépend au minimum des paramètres du temps t, de l'énergie E dégagée par

l'explosion et de la masse volumique de l'air .

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant t à :

(28.7)

où k est une constant sans dimensions.

Et par tâtonnement nous trouvons rapidement tel que :

(28.8)

Effectivement :

(28.9)

Taylor trouve alors la loi de dilatation du champignon atomique :

(28.10)

Si nous connaissons r et t à partir d'un film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et étant

connue, nous obtenons finalement :

(28.11)

ce qui reste une grossière approximation. Mais arriver à un résultat pareil (d'ordre de grandeur)

avec l'artillerie lourde de la physique théorique nécessiterait beaucoup plus de temps et de

feuilles de calculs.

NOTATIONS SCIENTIFIQUES

Il est fréquent en physique que les grandeurs manipulées soient très grandes et lourdes à

écrire. Par exemple, il est toujours embêtant d'avoir des grandeurs comme 8'000'000'000 ou

0.000'000'000'1.

Alors nous pouvons adopter une convention d'écriture en puissance de dix dite "notation

scientifique" telle que :

- 8'000'000'000 s'écrive (neufs zéros après le "8")

- 0.000'000'000'1 s'écrive (10ème position après la virgule) ou (neufs zéros

après la virgule)

Une écriture encore plus simplifiée consiste à utiliser le tableau ci-dessous mais uniquement si

nous avons à travailler avec des grandeurs physiques :

Préfixe Facteur Symbole Préfixe Facteur Symbole

exa 1018 E déci 10-1 d

péta 1015 P centi 10-2 c

téra 1012 T milli 10-3 m

giga 109 G micro 10-6

méga 106 M nano 10-9 n

kilo 103 k pico 10-12 p

hecto 102 h femto 10-15 f

déca 101 da atto 10-18 a

Tableau: 28.1 - Préfixes des grandeurs d'ordre

Par exemple, 10'000'000 grammes notés conventionnellement:

10'000'000 [g] (28.12)

sera écrit en notation scientifique:

(28.13)

mais en écriture physique (selon le tableau ci-dessus):

ou (28.14)

Définition: Nous disons que est "l'écriture scientifique" d'un nombre positif A si a est un

nombre décimal (c'est-à-dire que a s'écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant

la virgule), n est un nombre entier relatif.

Exemple:

(28.15)

L'avantage de cette écriture est de donner un ordre de grandeur de A compris entre 2

puissances consécutives de 10 tel que :

(28.16)

Si de plus, comme il arrive souvent, si nous utilisons des unités de physiques de multiple de

1'000 cela permet de placer ces grandeurs entre 2 unités dérivées consécutives.

Remarques:

R1. Si nous avons un chiffre de la forme 154'434'347'786, fréquemment et selon le contexte,

nous nous permettons de tronquer ce dernier et nous écrivons alors fréquemment avec une

précision de trois chiffres après la virgule ainsi ce dernier nombre devient ce qui est

plus simple à écrire mais dangereux à manipuler à cause de l'erreur induite par la troncation.

Nous renvoyons à ce sujet le lecteur dans le chapitre de Statistiques à la lecture de la partie

traitant des erreurs relatives.

R2. Pour les mathématiciens la notation scientifique n'est qu'une écriture d'un nombre parmi

d'autres et le choix de cette écriture est en relation avec le contexte du problème. Evidemment

ces "nombres résultats" obtenus peuvent être des nombres purs et durs solution de problèmes

abstraits mais aussi de problèmes concrets issus d'expériences, de mesures etc.. et là nous nous

rejoignons les physiciens.

TEMPS

Définition: Le "temps" est une variable d'état (et non un "mesurable") et donc une notion

impalpable mais cependant rigoureusement définie. Il s'agit aussi d'un outil mathématique qui

permet de mettre en équation l'observation de phénomènes physiques (observables) et d'en

tirer ainsi un certain nombre d'informations. Cet outil existe car il existe des êtres pour

observer (et mesurer) la nature et ses changements (principe socratique) et de la matière et du

mouvement pour qu'il y ait ces changements.

Remarques:

R1. Le temps (et ses intervalles) étant un concept arbitraire, il est symétrique c'est-à-dire que tout

phénomène observé enregistré peut dans l'imaginaire du temps inversé retrouver ces conditions

initiales. Nous parlons alors de "symétrie du temps" (pour l'instant il n'a jamais été à notre

connaissance démontré ou ne serait-ce observé, que le temps peut subir une "brisure de

symétrie").

R2. Le temps n'est ni une grandeur extensive ou intensive. On ne peut ni additionner le temps des

éléments d'un système physique pour avoir la durée totale de celui-ci (de plus cette question n'a

pas de sens) ni la pondérer. Cependant on peut additionner les intervalles de temps qui décrivent

l'évolution d'un système!

Nous représentons très souvent en physique le temps (compris dans un intervalle) par une

flèche (axe) horizontale représentant le sens du temps. Comme le temps est une notion

purement utilitaire, nous pouvons alors définir chaque instant du temps comme étant le temps

zéro noté . Cette notion est très utilisée en physique car souvent la seule chose qui intéresse

les physiciens est la différence de temps notée (de par l'utilisation du calcul différentiel et

intégral).

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