Notes sur les systèmes de coordonnées, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les systèmes de coordonnées, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur les systèmes de coordonnées. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'aspect des changements de coordonnées des composantes de vecteurs, le système de coordonnées cartésiennes, le sys...
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SYSTÈMES DE COORDONNÉES

Nous allons aborder ici, l'aspect des changements de coordonnées des composantes de vecteurs non pas d'une base à une autre (pour cela il faut aller voir le chapitre d'algèbre linéaire) mais d'un système de coordonnées à un autre. Ce type de transformation à un fort potentiel en physique (ainsi qu'en mathématique) lorsque nous souhaitons simplifier l'étude de systèmes physiques dont les équations deviennent plus facilement manipulables dans d'autres systèmes de coordonnées.

Définition: En mathématiques, un "système de coordonnées" permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à n dimensions, unn-uplet de scalaires. Remarque: Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un quelconque corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles). Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.

Bien que nous soyons dans un chapitre et une section de mathématiques du site, nous nous permettrons dans ce qui va suivre de faire une liaison directe avec la physique pour ce qui concerne les expressions de la vitesse et de l'accélération dans différentes systèmes de coordonnées (désolé pour les matheux...)

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Nous ne souhaitons pas trop nous attarder sur ce système car il est bien connu de tout le monde habituellement. Rappelons cependant que la plupart du temps, en physique, les systèmes cartésiens dans lesquels nous travaillons sont (deux dimensions spatiales), (trois dimensions spatiales) voir ou (trois dimensions spatiales et une temporelle) lorsque nous travaillons en relativité.

Les systèmes cartésiens sont représentés par des vecteurs de base orthonormés (dans le sens qu'ils sont linéairement indépendant et de norme unité) qui forment une "base euclidienne" d'un espace vectoriel euclidien...

Dans (cas le plus fréquent), il y a trois vecteurs de base notés traditionnellement:

(12.134) Dans ce système, la position d'un point P (repérable par un vecteur ) est défini par le triplet de nombres noté (en calcul tensoriel):

(12.135)

et en physique plus conventionnellement:

(12.136) où habituellement la coordonnée (z) représente la hauteur (la verticale), la coordonnée (x) la largeur et la coordonnée (y) la longueur (évidemment ces choix sont complètement arbitraires).

Ce point P peut être repéré par un vecteur noté arbitrairement dans la base par la relation (utilisant la notation tensorielle):

(12.137)

En physique, si nous travaillons avec des coordonnées, c'est toujours pour pouvoir déterminer l'emplacement d'un élément. Or, comme nous le verrons plus rigoureusement en mécanique analytique, le physicien travaille avec les notions suivantes (chaque élément dépendant souvent du temps):

- Position:

- Vitesse:

- Accélération:

Maintenant voyons comment s'expriment ces différentes notions dans des systèmes telles que les coordonnées sphériques, cylindriques et polaires.

SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHÉRIQUES

Le choix de commencer avec ce système de coordonnées n'est pas un hasard. Il a pour avantage d'être une généralisation des systèmes cylindrique et polaire dont nous en retrouverons par la suite plus facilement les expressions de la position, de la vitesse et de l'accélération.

Nous représentons traditionnellement un système à coordonnées sphériques de la façon suivante:

(12.138)

Nous voyons très bien si nous connaissons bien les relations trigonométriques élémentaires (voir le chapitre du même nom dans la section de géométrie) que nous avons les transformations:

(12.139)

et inversement:

(12.140)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base sphérique que

nous choisissons de noter avec les vecteurs de la base cartésienne .

Nous avons, comme nous pouvons le voir sur le schéma ci-dessus:

(12.141)

Indiquons qu'divisant par pour le deuxième vecteur de base, nous nous assurons ainsi de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

(12.142)

sera bien normalisé à l'unité!

Remarque:Il est important de remarquer que le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne toujours le troisième vecteur de base perpendiculaire (comme pour les coordonnées cartésiennes donc!).

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

(12.143)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation exprimée en coordonnées sphériques:

(12.144)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

(12.145)

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

(12.146)

ce qui nous amène donc à (nous aurons besoin de cette relation en astrophysique) :

(12.147)

Il est intéressant de remarquer que nous arrivons au même résultat en passant par la méthode suivante qui est peut-être moins intuitive:

(12.148)

et en y substituant la dérivée obtenue plus haut:

(12.149)

En ce qui concerne l'accélération nous obtenons :

(12.150)

Or, nous avons:

(12.151)

Donc il vient:

(12.152)

Soit au final:

(12.153)

SYSTÈME DE COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Le système de coordonnées cylindriques (très utile dans l'étude des systèmes à mouvements hélicoïdaux) est assez semblable à celui des coordonnées sphériques puisqu'il peut être vu comme une tranche de la sphère. Soit le schéma:

(12.154)

il vient sans peine qu'en coordonnées polaires:

et (12.155)

et inversement:

(12.156)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que nous

choisissons de noter (au lieu de comme cela se fait traditionnellement) avec les

vecteurs de la base cartésienne . Nous avons, identiquement à ce que nous avons fait pour les coordonnées sphériques:

(12.157)

Indiquons qu'en divisant par , nous nous assurons de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

(12.158)

sera bien normalisé à l'unité! Dans le cas des coordonnées cylindriques l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents...

Remarque: Il est important de remarquer que le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne toujours le troisième vecteur de base perpendiculaire (comme pour les coordonnées cartésiennes et sphériques donc!).

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

(12.159)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation exprimée en coordonnées cylindriques:

(12.160)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées cylindriques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

(12.161) Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons (rappelons que la composante z est indépendante des autres composantes cylindriques):

(12.162)

ce qui nous amène à:

(12.163)

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

(12.164) SYSTÈME DE COORDONNÉES POLAIRES

Le système de coordonnées polaires est très semblable à celui des coordonnées cylindriques puisqu'il peut être vu comme un retranchement d'une dimension (la hauteur) du système cylindrique.

(12.165)

Ainsi, il vient sans peine qu'en coordonnées polaires:

et (12.166)

et inversement:

(12.167)

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que je

choisis de noter (au lieu de comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de

la base cartésienne . Nous avons identiquement à ce que nous avions fait pour les coordonnées sphériques:

(12.168)

Explications pour la seconde ligne : en divisant par , nous nous assurons de par les

propriétés de la norme du produit vectoriel que sera bien normalisé à l'unité. Dans le cas des coordonnées polaires l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents.

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

(12.169)

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation exprimée en coordonnées cylindriques:

(12.170)

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

(12.171)

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

(12.172)

ce qui nous amène à:

(12.173)

où le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

(12.174)

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération de Coriolis et le quatrième l'accélération tangentielle.

 

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