Notes sur les techniques de gestion - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur les techniques de gestion - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur les techniques de gestion - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La méthode des trapèzes, la perte probabiliste, remarques, exemples.
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(14)

où n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert

d'exemple depuis le début cela donne:

(15)

Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en

entreprise!!):

(16)

La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:

(17)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

(18)

Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

(19)

PERT PROBABILISTE En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques

mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous

supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes"

(Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin

de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).

Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante

dans les ouvrages et sans démonstration (...) :

(20)

et donne la durée probable (espérée) d'une tâche élémentaire (non décomposable en sous-

tâches) où nous avons qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable et

pessimiste de la tâche . Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!

Remarque: Cette approche classique date de 1962 et est due à C.E. Clark.

Ses principes sont les suivants :

La durée de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire et la distribution Bêta est

systématiquement utilisée; les paramètres de cette loi que nous allons démontrer sont

déterminés moyennant une hypothèse de calcul assez forte, à partir des valeurs

extrêmes a et b que la durée d'exécution peut prendre, et du mode .

Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :

1. Quelle est la durée minimale ?

2. Quelle est la durée maximale ?

3. Quelle est la durée espérée ?

pour obtenir respectivement les paramètres , qui permettent ensuite de calculer la

moyenne (espérance) et la variance de cette durée aléatoire.

Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra

supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées

moyennes (espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s)

critique(s).

Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la

somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors

le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème

établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par

une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale,

quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de

distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.

L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la

somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du

chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :

(21)

et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant

nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :

(22)

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral

que :

et . (23)

En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous

appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:

(24)

Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus

générale:

(25)

Vérifions que nous ayons bien :

(26)

Par le changement de variable :

et (27)

nous obtenons :

(28)

Déterminons maintenant l'espérance :

(29)

Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :

(30)

Or :

(31)

Donc :

(32)

Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre

de Statistiques:

(33)

Calculons d'abord .

(34)

Toujours par le même changement de variable nous obtenons,

(35)

Or :

(36)

Donc :

(37)

Pour finir :

(38)

Calculons maintenant pour le "module" de cette loi de distribution. est par définition le

maximum global de la fonction :

(39)

Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :

(40)

Après dérivation nous obtenons :

(41)

en divisant par nous avons :

(42)

c'est-à-dire :

(43)

Maintenant, le lecteur aura remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite et la b la plus

grande. Entre deux il y a donc le mode .

En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées optimiste ,

pessimiste d'une tâche.

Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :

ou (44)

Ce qui implique que nous ayons :

(45)

ainsi que :

(46)

Et finalement :

(47)

Ce qui nous donnes sous forme synthétique:

(48)

Remarque: Les deux dernières expressions de la variance et de l'espérance sont celles que vous pouvez

trouver dans n'importe quel livre de gestion de projets (sans démonstration bien sûr...) comme par

exemple le fameux PMBOK. Malheureusement il y a une erreur dans cet ouvrage de référence de

gestion de projets à ma connaissance. Effectivement la valeur modale y est imposée par le chef de

projet alors qu'en toute rigueur elle doit être calculée avec la première des trois relations ci-dessus à

partir de la durée pessimiste et de la durée optimiste de la tâche!!!

Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables

avec la formulation suivante de la loi bêta:

(49)

cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel

par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).

Nous obtenons alors pour l'espérance:

(50)

et pour la variance:

(51)

et le mode:

(52)

Avec:

(53)

Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement les mêmes!

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de beta de

paramètres :

(54)

Nous définissons aussi le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation est laissée aux

responsable de projet et au client...) :

(55)

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