Notes sur les tenseurs euclidiens - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les tenseurs euclidiens - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur tenseurs euclidiens - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la tenseur fondamental, le produit tensoriel de deux vecteurs, les espaces tensoriels.
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TENSEURS EUCLIDIENS

La généralisation de la notion de vecteur nous a conduits à l'étude des espaces vectoriels

à dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui

possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Pour le physicien théoricien, le calcul tensoriel s'intéresse en premier lieu à la manière dont les

composantes des tenseurs se transforment lors d'un changement de base des espaces

vectoriels dont ils sont issus. Nous commencerons donc à étudier ces propriétés vis-à-vis des

changements de base (car c'est le cas le plus intéressant).

Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini et utilisé sous la forme de ses

composantes. Ces dernières peuvent être exprimées sous forme covariante ou contravariante

comme pour tout vecteur. Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les

tenseurs, ce sont les "composantes mixtes". Ces trois types de composantes constituent des

décompositions des tenseurs euclidiens sur des bases différentes.

TENSEUR FONDAMENTAL

Au cours de la théorie vu précédemment, nous avons utilisé les quantités , définies à partir

du produit scalaire des vecteurs de base d'un espace vectoriel pré-

euclidien à n dimensions, par:

(14.127)

Ces quantités constituent les composantes covariantes d'un tenseur appelé le "tenseur

fondamental" ou "tenseur métrique".

Etudions comment varient les quantités lorsque nous effectuons un changement de base :

Soit une autre base liée à la précédente par les relations connues:

et (14.128)

Substituant la relation dans l'expression de , il vient (nous changeons les

indices comme il se doit lors d'une substitution):

(14.129)

Dans la nouvelle base , les produits scalaires des vecteurs de base sont donc des quantités

telles que:

(14.130)

Nous avons donc finalement pour l'expression des composantes covariantes lors d'un

changement de base:

(14.131)

Identiquement nous avons :

(14.132)

De manière générale, une suite de quantités qui se transforment, lors d'un changement

de base de , selon les deux relations précédentes, à savoir:

et (14.133)

constituent, par définition, les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux" (à deux

indices) sur .

Nous pouvons ainsi manipuler des quantités exprimant les propriétés intrinsèques des bases

comme des tenseurs normaux !

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS

Considérons un espace vectoriel euclidien de base et soient deux vecteurs de :

et (14.134)

Formons les produits deux à deux des composantes contravariantes et , soit:

(14.135)

Nous obtenons ainsi quantités, si les deux vecteurs ont le même nombre de composantes,

qui constituent également les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux appelé le

"produit tensoriel" du vecteur par le vecteur .

Par exemple pour de dimension 2 et de dimension 3 nous avons:

(14.136)

Nous pouvons bien évidemment construire des produits tensoriels d'ordre trois (donc

avec termes) tels que :

(14.137)

etc...

Etudions les propriétés de changement de base de ces composantes. Utilisons pour cela les

relations de changement de base des composantes contravariantes d'un vecteur, à savoir:

et (14.138)

Remplaçons dans la relation les composantes et par leur expression de

changement de base, il vient:

(14.139)

Les quantités sont les nouvelles composantes:

(14.140)

La formule de transformation des quantités lors d'un changement de base de est

donc finalement (très similaire au tenseur métrique):

(14.141)

Une telle relation de changement de base caractérise les composantes contravariantes d'un

tenseur d'ordre deux. Inversement, nous obtenons :

(14.142)

Les quantités constituent donc les "composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre

deux".

Nous pouvons former de même les produits deux à deux des composantes

covariantes et des vecteurs et soit:

(14.143)

Les formules de changement de base des composantes covariantes des vecteurs sont données

par les relations suivantes que nous avons déjà démontrées précédemment:

et (14.144)

Substituant la première relation dans le produit , il vient:

(14.145)

C'est la relation de changement de base des composantes covariantes d'un tenseur d'ordre

deux. On vérifie que l'on a:

(14.146)

Identiquement nous avons bien évidemment: puisque .

Les quantités constituent donc les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Formons à présent quantités en multipliant deux à deux les composantes covariantes du

vecteur par les composantes contravariantes de , nous obtenons :

(14.147)

Effectuons un changement de base dans cette dernière relation en tenant compte des

expressions et , on obtient:

(14.148)

Cette relation de changement de base caractérise les "composantes mixtes" d'un tenseur

d'ordre deux. Inversement, on peut vérifier que l'on a:

(14.149)

Ces composantes mixtes constituent également des composantes du produit tensoriel

de par , selon une certaines base.

De manière générale, une suite de quantités qui se transforment, lors d'un changement

de base de , selon les relations établies juste précédemment constituent donc, par

définition, les "composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux".

ESPACES TENSORIELS

Au cours de l'étude précédente, nous avons utilisé des systèmes de nombres, crées à partir

d'un espace vectoriel . Lorsque ces nombres vérifient certaines relations de changement de

base, nous avons appelé ces grandeurs, par définition, les "composantes d'un tenseur".

Nous avons vu que toute combinaison linéaire de ces composantes constitue les composantes

d'autres tenseurs. Nous pouvons donc additionner entre elles les composantes des tenseurs

ainsi que les multiplier par des scalaires, pour obtenir d'autres composantes de tenseurs. Ces

propriétés d'addition et de multiplication font que nous allons pouvoir utiliser ces grandeurs

tensorielles comme composantes de vecteurs.

D'un point de vue pratique, nous pourrions nous contenter de définir les tenseurs à partir des

relations de transformation de leurs composantes lors d'un changement de base. C'est ce qui

est souvent fait en physique. Cependant, la définition des tenseurs sous forme de vecteurs

conduit à une meilleure compréhension de leurs propriétés et les rattache à la théorie générale

des vecteurs.

Pour préciser comment nous définissons un tenseur sur une base, étudions le cas particulier

d'un produit tensoriel de deux vecteurs constitués par des triplets de nombres. Considérons

l'espace vectoriel euclidien dont les vecteurs sont des triplets de nombre de la

forme: . La base orthonormée canonique de est formée de trois vecteurs :

(14.150)

avec (jolie façon d'écrire la chose n'est-il pas...).

Des vecteurs de permettent de former les neuf quantités que nous avons appelées les

"composantes du produit tensoriel" des vecteurs et .

Si nous effectuons tous les produits tensoriels possibles entre vecteurs de , nous obtenons

des suites de neuf nombres qui peuvent servir à définir le vecteur suivant :

(14.151)

Remarque: Nous voyons de suite avec la relation précédente que le produit tensoriel n'est dès

lors pas commutatif.

Nous nous retrouvons alors avec des éléments d'un espace vectoriel à neuf dimensions,

ayant pour éléments tous les multiplets formés de neuf nombres.

Ces vecteurs peuvent être décomposés, par exemple, sur une base canonique orthonormée :

(14.152)

avec .

Si nous renumérotons les quantités selon la place qu'elle occupent dans l'expression

de , soit:

(14.153)

avec et , les vecteurs s'écrivent alors:

(14.154)

et constituent un exemple de tenseur d'ordre deux (évidemment on peut généraliser la

démarche).

En quoi ces tenseurs diffèrent-ils des vecteurs ordinaires ? Ils sont certes identiques à

certains vecteurs de mais ils ont été formés à partir des vecteurs de et de . Pour

rappeler ce fait, nous les notons :

(14.155)

et ils sont appelés "produits tensoriels d'ordre deux" des vecteurs et . Le symbole est

donc défini de la manière dont nous avons formé les quantités et l'ordre dans lequel

nous les avons classées pour former le vecteur .

Pour rappeler la dépendance entre une quantité et le vecteur de base auquel il est

affecté, renumérotons ces vecteurs en mettant à la place de l'indice k les deux indices i et j,

relatifs aux composantes, soit:

(14.156)

Ce dernier peut très bien être noté sous la forme:

(14.157)

Les vecteurs constituent donc une base de qui est appelée la "base associée".

Nous rappelons également que le produit tensoriel est non-commutatif (il est vraiment

important de s'en rappeler)! Autrement dit :

(14.158)

Les relations précédentes nous permettent finalement d'écrire le produit tensoriel des

vecteurs et sous la forme:

(14.159)

L'espace vectoriel est doté d'une structure plus précise que celle de simple espace vectoriel

de dimension neuf lorsque nous définissons les produits tensoriels comme constituant

la base de . Nous disons que est doté d'une "structure de produit tensoriel" ce qui nous

amène à noter cet espace ou encore .

En tant qu'élément d'un espace , un tenseur est un vecteur de la forme générale:

(14.160)

Etudions ses propriétés vis-à-vis d'un changement de base de tel que:

et (14.161)

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