Notes sur les tenseurs euclidiens - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les tenseurs euclidiens - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les tenseurs euclidiens - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La démonstration, le "critère de tensorialité", les combinaisons linéaires de tenseurs, la contraction des i...
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Lors d'un tel changement, la base associée à devient une autre

base associée à , à savoir:

(14.162)

Par suite, le produit tensoriel a pour composantes dans la nouvelle base:

(14.163)

Soit donc :

(14.164)

Nous avons les propriétés suivantes pour le produit tensoriel:

P1. Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition des vecteurs :

(14.165)

La démonstration de ces propriétés découle simplement de la définition du produit tensoriel.

Nous avons par exemple :

(14.166)

P2. Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire :

(14.167)

Nous avons en effet :

(14.168)

P3. Lorsque nous choisissons une base dans chacun des espaces vectoriels pour

, pour , les éléments de que nous notons forment également une

base de .

Démonstration:

Déjà faite dans l'exemple particulier que nous avons utilisé au début.

C.Q.F.D.

Remarque: En pratique, nous avons souvent à utiliser des tenseurs formés à partir de vecteurs

appartenant à des espaces vectoriels identiques .

Nous pouvons bien évidemment généraliser le produit tensoriel à un nombre quelconque de

vecteurs. De proche en proche, compte tenu de la propriété P1, nous pouvons

considérer vecteurs appartenant chacun à des espaces vectoriels

différents . Si nous avons :

(14.169)

nous pouvons former le produit tensoriel :

(14.170)

avec .

Nous construisons ainsi des produits tensoriels d'ordre p appartenant à l'espace

vectoriel , espace qui est muni d'une structure de produit tensoriel. Les

éléments de cet espace constituent par définition des tenseurs d'ordre p.

Afin d'unifier la classification, les espace vectoriels élémentaires, qui ne peuvent êtres munis

d'une structure de produit tensoriel, peuvent êtres considérés comme ayant pour éléments des

tenseurs d'ordre un. En général, nous appelons ces éléments des "vecteurs", réservant le nom

de "tenseurs" à des éléments d'espaces tensoriels d'ordre égal ou supérieur à deux !

Remarque: Il est commode d'appeler "tenseurs d'ordre zéro" les grandeurs scalaires. Il est

également rare de rencontrer des tenseurs d'ordre supérieur à 2.

Il est assez évident et nous ne ferons pas la démonstration (excepté s'il y a une demande) que

nous pouvons redéfinir absolument tous les concepts (base, décomposition sur une base, base

réciproque, produit scalaire, produit tensoriel) que nous avons vu jusqu'à maintenant en

considérant les tenseurs d'ordre deux comme des vecteurs (il faudrait donc que nous

réécrivions tout ce qui est déjà écrit ci-dessus... ce qui est inutile).

Il est aussi tout à fait possible de réitérer toutes ces définitions pour des tenseurs d'ordre

supérieurs et ainsi généraliser le concept d'espace tensoriel pour toutes les dimensions.

De ces considérations, nous pouvons énoncer le "critère de tensorialité":

Pour qu'une suite de quantités, rapportées à une base d'un espace vectoriel , puisse être

considérée comme les composantes d'un tenseur, il faut et il suffit que ces quantités soit liées

entre elles, dans deux bases différentes de , par les relations de transformation des

composantes.

Exemple:

Un vecteur peut se représenter dans un base quelconque par une suite de n composantes.

Cependant, nous ne pouvons pas conclure que n'importe quelle suite de n chiffres constitue un

vecteur. En effet, lorsque nous nous plaçons dans une autre base de l'espace, les composantes

doivent changer également, pour représenter le même objet: nous disons alors que le vecteur

est un objet intrinsèque (dont l'existence ne dépend pas du choix du repère). Il reste alors à

savoir qu'un vecteur est un tenseur d'ordre 1.

COMBINAISONS LINÉAIRES DE TENSEURS

Nous pouvons former d'autres tenseurs en combinant entre elles les composantes de différents

produits tensoriels définis à l'aide des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par

exemple les composantes contravariantes des produits tensoriels des vecteurs et :

(14.171)

Formons les quantités suivantes:

(14.172)

Les quantités vérifient également les formules générales de changement de base. Nous

avons en effet, en substituant les relations de transformation des composantes contravariantes

d'un produit tensoriel dans l'expression précédente :

(14.173)

Les quantités de , vérifiant la relation de changement de base, constituent donc

également des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux.

CONTRACTION DES INDICES

Considérons le produit tensoriel mixte de deux vecteurs et de composantes respectives

contravariantes et covariantes . Les composantes mixtes du produit tensoriel de ces

deux vecteurs, sont:

(14.174)

Effectuons l'addition des différentes composantes du tenseur telle que , soit:

(14.175)

Nous obtenons ainsi l'expression du produit scalaire des vecteurs et ; la quantité est un

scalaire ou tenseur d'ordre zéro. Une telle addition sur des indices de variance différente

constitue, par définition, l'opération de "contraction des indices" du tenseur . Cette opération

a permis de passer d'un tenseur d'ordre deux à un tenseur d'ordre zéro; le tenseur a été

amputé d'une covariance et d'une contravariance.

Prenons également l'exemple d'un tenseur dont les composantes mixtes sont (attention...

il ne s'agit pas d'une matrice tridimensionnelle mais simplement de l'indication que les

composantes de ce tenseurs s'expriment à partir de trois autres variables). Considérons

certaines de ses composantes telles que , à savoir les quantités et effectuons

l'addition de ces dernières; nous obtenons:

(14.176)

Ces nouvelles quantités forment les composantes d'un tenseur d'ordre un (donc un

vecteur). Les quantités constituent des "composantes contractées" du tenseur et satisfont

bien évidemment aux relations de changement de base (sur demande nous pouvons faire la

démonstration mais sachez qu'elle est similaire à celle que nous avions faite pour les vecteurs).

Nous sommes ainsi passé d'un tenseur d'ordre trois à un tenseur d'ordre un.

Si nous partons de l'expression des composantes contravariantes ou covariantes d'un tenseur,

nous pouvons abaisser l'un des indices par multiplication de ou (métrique diagonale

unitaire et à signature positive : de type canonique) et sommation, afin d'obtenir des

composantes mixtes sur lesquelles nous pouvons ensuite effectuer les opérations de

contraction.

Considérons un tenseur euclidien de composantes contravariantes . Ecrivons les

composantes mixtes de en abaissant à la position covariante l'indice (cela revient donc à

exprimer les composantes d'un des vecteurs implicites en composantes covariantes). Alors:

(14.177)

Effectivement, rappelons que :

(14.178)

Maintenant que nous avons un tenseur à composantes, mixtes, nous pouvons très bien

contracter les indices. Choisissons par exemple l'indice et effectuons la contraction avec

l'indice , posons (nous nous intéressons alors plus qu'à certains termes

particuliers), il vient:

(14.179)

Nous obtenons donc après abaissement de l'indice et contraction, un tenseur d'ordre .

Remarque: Par suite de la symétrie des quantités (produit scalaire est commutatif) ce dernier

tenseur est identique à celui que nous obtiendrons en abaissant à la position covariante

l'indice puis en effectuant la contraction avec l'indice :

(14.180)

De manière générale, la contraction d'un tenseur permet donc de former un tenseur

d'ordre à partir d'un tenseur d'ordre p. Nous pouvons naturellement répéter l'opération

de contraction. Ainsi, un tenseur pair, 2p, deviendra un scalaire après p contractions et un

tenseur d'ordre impair, , deviendra un vecteur.

Nous pouvons étendre après cette définition de la contraction des indices, le critère de

tensorialité. Nous avons vu jusqu'à maintenant, deux manières de reconnaître le caractère

tensoriel d'une suite de quantités :

- la première consiste à démontrer que ces quantités sont formées par le produit tensoriel de

composantes de vecteurs ou par une somme de produits tensoriel

- le deuxième consiste à étudier la manière dont ces quantités se transforment lors d'un

changement de base et à vérifier la conformité des relations de transformation.

- la troisième et nouvelle amène à poser que pour qu'un ensemble de quantités,

comportant p indices supérieurs et q indices inférieurs soit tensoriel, il faut et il suffit que leur

produit complètement contracté par les composantes contravariantes de p vecteurs

quelconques et les composantes covariantes de q vecteurs quelconques, soit une quantité (la

norme au fait...) qui demeure invariante par changement de base.

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