Notes sur les tenseurs particuliers, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les tenseurs particuliers, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les tenseurs particuliers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la tenseur symétrique, L'équation de la quadrique, la tenseur antisymétrique, Les éléments, la tenseur fondamental.
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TENSEURS PARTICULIERS

Nous pouvons être confrontés en physique théorique à des tenseurs qui ont des propriétés

intéressantes. Afin d'éviter de faire un travail redondant au cas par cas, nous allons énumérer et

démontrer les différentes propriétés existantes et parler de leurs possibles implications.

TENSEUR SYMÉTRIQUE

Considérons un tenseur d'ordre deux contravariantes . Supposons que, suivant une

base , toutes ces composantes satisfassent aux relations:

(14.181)

Sur une autre base , liée à la précédente par les relations de transformation connues, les

nouvelles composantes de vérifient la relation:

(14.182)

Nous voyons que la propriété est donc une caractéristique intrinsèque du tenseur ,

indépendante de la base ! Nous disons alors que le tenseur est un "tenseur symétrique".

La propriété de symétrie se vérifie également pour les composantes covariantes d'un tenseur

symétrique puisque nous avons:

(14.183)

Réciproquement, la symétrie des composantes covariantes entraîne celle des composantes

contravariantes.

Pour des tenseurs d'ordre plus élevé, la symétrie peut être partielle, portant sur deux indices

covariants ou deux indices contravariants. Ainsi, un tenseur d'ordre quatre, de composantes

mixtes peut être également symétrique en i et j, par exemple, soit:

(14.184)

Nous vérifions, de même que ci-dessus, qu'une telle propriété est intrinsèque.

Un tenseur est dit "tenseur complètement symétrique" si toute transposition de deux indices de

même variance, change la composante correspondante en elle-même. Par exemple, pour un

tenseur d'ordre trois , complètement symétrique, nous avons les composantes suivantes qui

sont égales entre elles:

(14.185)

Des exemples de tenseurs compléments symétriques sont le tenseur des contraintes que

nous verrons lors de notre étude des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides et

les tenseurs des transformations relativistes de Lorentz que nous verrons en mécanique

relativiste. Ces tenseurs sont alors dits aussi "tenseurs totalement invariants" (sous-entendu

par changement de base).

Nous pouvons également (curiosité intéressante) obtenir une représentation géométrique des

valeurs des composantes d'un tenseur symétrique d'ordre deux. Pour cela, considérons dans

l'espace géométrique ordinaire des coordonnées , l'équation suivante:

(14.186)

où, rappelons-le, peut-être vu comme un produit tensoriel avec et où

les sont des coefficients réels donnés. Supposons que ces coefficients soient tels que:

(14.187)

L'équation précédente s'écrit alors:

(14.188)

Nous retrouvons ici l'équation d'une surface de second degré ou quadrique similaire à celle du

plan que nous avons vue en géométrie plane. Nous savons que par extension à la troisième

dimension que ces surfaces sont des ellipsoïdes ou hyperboloïdes, selon les valeurs des

quantités .

Etudions comment se transforment les quantités lorsque nous effectuons un changement

de coordonnées tel que :

et (14.189)

L'équation de la quadrique s'écrit dans ce nouveau système de coordonnées:

(14.190)

d'où l'expression des coefficients dans le nouveau système d'axes:

(14.191)

Les coefficients se transforment donc comme les composantes covariantes d'un tenseur

d'ordre deux. Réciproquement, si les quantités sont les composantes d'un tenseur

symétrique, ces composantes définissent les coefficients d'une quadrique. Il existe donc une

certaine équivalence entre un tenseur symétrique et les coefficients d'une quadrique. Nous

dirons que l'équation de la quadrique est la "quadrique représentative" du tenseur symétrique.

Nous savons de par notre étude des quadriques en géométrie plane (en étendant cela au cas

tridimensionnel) que nous pouvons toujours trouver un système de coordonnées par rapport

auquel l'équation d'une quadrique prend une forme plus simple:

(14.192)

Dans ce cas, les vecteurs de base sont portés par les axes principaux de la quadrique. Dans ce

système de coordonnées, les composantes du tenseur se réduisent à:

(14.193)

et pour les autres composantes. Les quantités sont appelées les "composantes

principales" du tenseur .

Si les quantités sont positives, la surface est une ellipsoïde, si deux quantités sont

strictement positives et la troisième strictement négative, nous avons un hyperboloïde à une

nappe, si deux quantités sont strictement négatives et la troisième positive, nous avons un

hyperboloïde à deux nappes (pour plus d'information voir le chapitre de Géométrie Analytique).

La comparaison de l'expression de la quadrique obtenue précédemment avec l'équation

classique:

(14.194)

où a,b,c sont les demi-axes d'un ellipsoïde montre que nous avons :

(14.195)

TENSEUR ANTISYMÉTRIQUE

Lorsque les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux, vérifient les relations:

(14.196)

nous disons que le tenseur est un "tenseur antisymétrique". C'est une propriété intrinsèque du

tenseur qui se démontre comme pour les tenseurs symétriques, au signe "-" près. Un tenseur

antisymétrique doit bien évidemment satisfaire au fait que ces composantes diagonales soient

nulles tel que:

(14.197)

Si les composantes contravariantes d'un tenseur sont antisymétriques, ses composantes

covariantes le sont également.

Un tenseur sera partiellement antisymétrique si nous avons par exemple:

(14.198)

Il sera complètement antisymétrique si toute transposition d'indice de même variance change la

composante correspondante en son opposée.

Tout tenseur peut être mis sous la forme d'une somme d'un tenseur symétrique et d'un

tenseur antisymétrique. Nous avons en effet:

(14.199)

Le premier terme de la somme ci-dessus est un tenseur symétrique et le second, un tenseur

antisymétrique.

Considérons maintenant deux vecteurs et d'un espace vectoriel . Formons

les quantités antisymétriques suivantes (nous y trouvons deux produits tensoriels):

(14.200)

où nous voyons immédiatement que les composantes sont celles d'un tenseur

antisymétrique .

La décomposition du vecteur dans la base s'écrit:

(14.201)

Le tenseur (noté ainsi en analogie avec le produit vectoriel pour ) est appelé le

"produit extérieur" des vecteurs et . Nous disons encore que ce tenseur est un "bi-

vecteur".

Le produit extérieur est donc un tenseur antisymétrique qui vérifie les propriétés suivantes:

P1. Anticommutativité: , il en résulte:

(14.202)

P2. Distributivité à gauche et à droite pour l'addition vectorielle:

(14.203)

P3. Associativité pour la multiplication par un scalaire:

(14.204)

P4. Les produits extérieurs:

(14.205)

constituent une base de l'ensemble des bi-vecteurs.

Démonstration:

Un tenseur antisymétrique d'ordre deux, élément de , peut s'écrire sous la forme:

(14.206)

Echangeant, dans la dernière somme de la relation ci-dessus, le nom des indices et en tenant

compte que , nous obtenons :

(14.207)

Les éléments:

(14.208)

sont linéairement indépendants puisque les vecteurs le sont également. Ces éléments

constituent donc une base sur laquelle les tenseurs antisymétriques peuvent êtres décomposés.

C.Q.F.D.

Le nombre de vecteurs distinguables est égal au nombre de combinaisons de

vecteurs pris deux à deux et distinguables parmi n tel que:

(14.209)

Effectivement parmi les composantes, n composantes sont nulles et les autres

composantes ont des valeurs opposées deux à deux. Nous pouvons donc considérer que la

moitié de ces dernières suffit à caractériser le tenseur.

Dans le cadre du produit tensoriel où nous avons:

(14.210)

le nombre de composantes distinguables est également de et elles sont appelées

"composantes strictes".

Nous remarquons que pour , le nombre de composantes strictes du produit extérieur de

deux vecteurs est aussi égal à trois. Ceci permet de former avec les composantes du bivecteur,

les composantes d'un produit vectoriel .

Ainsi, un produit vectoriel n'existe donc que pour un sous-espace de bi-vecteurs dont le

nombre de dimension est égal à 3 et dont les pré-images sont des tenseurs antisymétriques.

Si toutes ces conditions sont satisfaites, nous disons que le vecteur constitue le "tenseur

adjoint" du tenseur .

TENSEUR FONDAMENTAL

Nous avons vu au début de notre étude du calcul tensoriel la définition des composantes

covariantes du tenseur fondamental, à savoir :

(14.211)

Ces quantités interviennent, nous le savons, dans l'expression du produit scalaire de deux

vecteur et , de composantes contravariantes et , donné par la relation:

(14.212)

Utilisons le critère général de tensorialité pour mettre en évidence le caractère tensoriel des .

L'expression précédente est un produit complètement contracté des quantités avec les

composantes contravariantes d'un tenseur arbitraire. Comme le produit scalaire est une

quantité invariante (en l'occurrence un scalaire) par rapport aux changements de base, il en

résulte que les quantités sont les composantes covariantes d'un tenseur.

Ce tenseur est de plus symétrique par suite de la propriété symétrie du produit scalaire des

vecteurs de base tel que:

(14.213)

Nous avons de même pour les composantes contravariantes du tenseur fondamental :

(14.214)

Si nous notons les composantes mixtes du tenseur fondamental à lui même:

(14.215)

avec évidemment dans la base canonique :

(14.216)

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