Notes sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 1° Partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 1° Partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 1° Partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la constante de gravitation de l'astre, l'énergie spécifique, PÉRIODE ORBITALE KEPLERIENNE, D...
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L'observation (outil principal du physicien pour rappel) semble montrer qu'à première vue, les

trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres sont bien de type coniques

(ouf!). Sachant cela, nous pouvons afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des

calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires.

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, la vitesse en coordonnées polaires

s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grecque de notation de l'angle pour nous

adapter à la tradition):

(47.69)

où pour rappel le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la

composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération:

(47.70)

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième

l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis (cf. chapitre de Mécanique

Classique).

Maintenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons nous au cas des orbites

képlériennes dans le cas d'un champ Newtonien.

Nous avons déjà démontré que plus haut :

(47.71)

Cependant, il est peu probable que le corps principal soit une sphère parfaite et homogène...

Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:

(47.72)

où est appelée "constante de gravitation de l'astre" et oùf est une fonction

représentant les hétérogénéités de l'astre.

S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est

bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles.

Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation

de l'énergie mécanique.

Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle Edésigne "l'énergie

spécifique" par unité de masse (kilogramme) envoyé.

(47.73)

donc :

(47.74)

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du corps

principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique en norme et en direction, soit:

(47.75)

Le vecteur est l'unitaire de ou de appelé "moment cinétique réduit". K est la constante

des aires (cf. chapitre de Mécanique Classique) telle que:

(47.76)

Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donné

par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que

l'on peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la norme comme il l'a été

démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel du site):

(47.77)

Ce qui nous permet d'écrire pour K :

(47.78)

Plaçons-nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales

premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.

Soit la relation déjà démontrée et sa norme . Or:

(47.79)

Remplaçons dans l'expression de :

(47.80)

En égalant avec l'expression de résultant de la conservation de l'énergie, nous avons:

(47.81)

Ce qui nous donne une équation différentielle assez compliquée:

(47.82)

Et là nous nous demandons comment nous pouvons faire pour nous en sortir. Après quelques

heures de réflexions... nous nous rendons compte qu'il faut faire une substitution. Après une

autre heure de chaos neuronal cela finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons

tout à fait le droit), sachant que r est une fonctionu de :

(47.83)

Dérivons allégrement par rapport à :

(47.84)

Substituons dans l'équation différentielle:

(47.85)

Après simplification nous obtenons :

(47.86)

Nous séparons les variables pour intégrer:

(47.87)

Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant à la fin de la

résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif.

Ainsi:

(47.88)

Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très

faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet,

communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela

m'intéresserait).

Ce qui nous permet d'obtenir :

(47.89)

Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque

maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques, nous voyons que nous avons:

(47.90)

où e est l'excentricité (rapport du petit axe ) et p le paramètre focal ( )

d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent les astres en orbite.

Nous retrouvons donc bien la première "loi" de Kepler....

Dans notre cas, nous avons après simplification :

et (47.91)

où (pour rappel) K est la constante des aires :

(47.92)

et la constante de gravitation de l'astre :

(47.93)

et enfin E l'énergie spécifique :

(47.94)

Le lecteur vérifiera comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique lors de

notre étude des coniques que si :

- nous avons une orbite ouverte sous forme de parabole

- nous avons une orbite ouverte sous forme d'hyperbole

- nous avons une orbite fermée sous forme d'une ellipse ou de cercle.

PÉRIODE ORBITALE KEPLERIENNE

La loi des aires permet comme nous le savons déjà de calculer la période orbitale képlérienne T.

En effet, l'aire Sde l'ellipse valant (cf. chapitre sur les Formes Géométriques) et

ayant déjà déterminé lors de la définition du moment cinétique la relation (cf. chapitre de

Mécanique Classique):

(47.95)

Il vient naturellement:

(47.96)

Par ailleurs, l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) nous a montré que :

(47.97)

et nous avons défini plus haut :

(47.98)

Nous avons donc la relation :

(47.99)

et nous retrouvons du même coup la troisième loi de Kepler... :

(47.100)

ce qui valide nos calculs précédents.

DÉFLEXION CLASSIQUE DE LA LUMIÈRE

Les calculs effectués précédemment peuvent s'appliquer à un cas intéressant : la déviation de la

lumière par un astre selon une interprétation newtonienne (bien évidemment!).

Nous avons donc montré plus haut que :

(47.101)

Dans le cadre d'un photon nous aurions tendance à poser que et donc que :

(47.102)

en posant les relations trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de

Trigonométrie) nous donnent :

(47.103)

et donc en utilisant encore les relations trigonométriques :

(47.104)

soit :

(47.105)

et nous savons que :

(47.106)

donc :

(47.107)

en négligeant l'énergie potentielle du photon puisque , nous avons (attention!!!

rappelons que selon ce que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte, le photon

n'a pas de masse rigoureusement!):

(47.108)

Donc :

(47.109)

donc:

(47.110)

après simplification :

(47.111)

et comme est supposé petit, nous avons à l'aide du développement de Taylor de la fonction

tangente (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) :

(47.112)

il vient donc finalement :

(47.113)

Or, nous avons par définition :

(47.114)

et nous savons que (cf. chapitre de Mécanique Classique). Ainsi il vient :

(47.115)

Si la particule est un photon passant au ras de la surface du Solaire alors :

(47.116)

un calcul numérique donne alors :

(47.117)

La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0.87 secondes d'arc pour un rayon

lumineux frôlant la surface solaire. Ce qui est deux fois moins que ce qui peut être observé

expérimentalement et que ce que donne la relativité générale (cf. chapitre de Relativité

Générale)!

prÉcession du pÉrihÈlie Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeler que le champ

gravitationnel et un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique

(cf. chapitre de Mécanique Classique) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont

le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment

cinétique est constant en norme et en direction pour rappel!).

Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les

résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus fin dans les

résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour

du noyau de l'atome).

Définitions:

D1. Le "périhélie" est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus

rapproché de l'étoile autour duquel il tourne.

D2. "L'aphélie" est le point de l'orbite d'un objet (planète, comète, etc.) où il est le plus éloigné

de l'étoile autour duquel il tourne.

D3. "L'équinoxe" est l'instant où le l'étoile centrale traverse l'équateur de l'objet qui est en

orbite autour de lui.

Remarque: Lorsque le Soleil passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord de la Terre (en

d'autres termes que le Soleil se trouve au Zénith à l'équateur à midi), c'est l'équinoxe de

printemps (20 ou 21 mars), dans le sens inverse, c'est l'équinoxe d'automne (22 ou 23

septembre). A ces dates, il y a égalité du jour et de la nuit sur toute la Terre.

Evidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le

savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec

exactitude la précession du périhélie de Mercure (nous y reviendrons).

Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent d'une formule dite

"formule de Binet" sous forme relativiste (nous verrons la forme classique dans le chapitre de

Relativité Générale). Nous procédons comme suit :

Le lagrangien relativiste du système (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(47.118)

Remarque: Nous soustrayons l'énergie au repos car seulement nous intéresse ici l'étude de

l'énergie cinétique et potentielle.

Avec :

(47.119)

et la masse réduite :

(47.120)

Remarque: Pour déterminer l'expression de la vitesse en coordonnées polaires, nous avons utilisé

le résultat de nos calculs du chapitre de Calcul Vectoriel.

Le moment cinétique :

(47.121)

sous forme relativiste et appliqué à notre étude s'écrit:

(47.122)

En prenant la norme, nous avons sans oublier que dans note étude et donc

:

(47.123)

et rappelons que nous avons adopté l'écriture . Ce qui nous donne finalement:

(47.124)

Pour établir l'équivalent relativiste de la formule de Binet:

- nous partons du moment cinétique :

(47.125)

- nous recherchons une relation du type (puisque la trajectoire est une conique):

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