Notes sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 2° Partie, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 2° Partie, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

PDF (181.4 KB)
9 pages
183Numéro de visites
Description
Notes d'astronomie sur les trajectoires d'orbitales kepleriennes - 2° Partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, remarques.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

(47.126)

Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression

suivante:

(47.127)

C'est-à-dire que . Cette dernière expression permet d'écrire que:

(47.128)

- nous cherchons ensuite une relation :

(47.129)

Soit:

(47.130)

A partir des équations obtenues précédemment, nous avons successivement:

(47.131)

Rappelons que nous avions défini en relativité restreinte:

(47.132)

Avec les équations précédentes, cela nous donne:

(47.133)

D'autre part:

(47.134)

En introduisant l'avant dernière relation dans cette dernière:

(47.135)

En posant et comme:

(47.136)

L'avant dernière relation devient avec cette dernière expression:

(47.137)

En égalant cette dernière relation avec celle du lagrangien:

(47.138)

En dérivant cette dernière relation par rapport à :

(47.139)

Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !),

nous avons donc:

(47.140)

et également:

(47.141)

Or, si nous continuons:

(47.142)

En se référant à:

(47.143)

Nous obtenons donc:

(47.144)

Ce qui donne finalement après quelques simplifications:

(47.145)

En multipliant cette dernière par :

(47.146)

Dans un potentiel gravitationnel:

(47.147)

L'équation de Binet en relativité restreinte est alors:

(47.148)

Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la

variable u dans le membre de gauche:

(47.149)

Nous posons :

et (47.150)

L'équation différentielle s'écrit alors:

(47.151)

Nous posons :

(47.152)

En prenant la dérivée seconde:

(47.153)

Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:

(47.154)

Les solutions sont du type:

(47.155)

Ce qui s'écrit encore puisque est une constante:

(47.156)

avec .

Pour déterminer les constantes nous nous plaçons d'abord dans la situation pour

laquelle , oùr est minimal et donc par définition u maximal.

Nous dérivons par rapport à :

(47.157)

Donc ce qui fait que la relation:

(47.158)

devient:

(47.159)

Ecrite autrement (en essayant de revenir sur une notation similaire à celle de l'étude des

coniques) cela donne :

(47.160)

Et l'intérêt d'écrire cela ainsi est de remarquer que nous retombons sur l'équation d'une ellipse

avec p étant le paramètre focal de la conique étant aussi donné par (cf. chapitre de Géométrie

Analytique):

(47.161)

où a est le demi-grand axe de l'ellipse.

Maintenant posons :

et (47.162)

Au premier passage par le périhélie où :

(47.163)

nous avons donc:

(47.164)

Au deuxième passage par le périhélie , nous avons :

(47.165)

nous avons donc également:

(47.166)

La trajectoire est toujours une ellipse mais l'angle qui était nul au départ est

devenu .

Soit si nous avons :

(47.167)

Alors:

(47.168)

Ce qui nous donne:

(47.169)

Etant donné que , un développement en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et

Séries):

(47.170)

En se limitant à l'ordre 2:

(47.171)

Donc en conclusion, il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du

satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation du satellite, la trajectoire est toujours

une ellipse.

Cette avance est de:

(47.172)

par demi-période. Soit en explicitant le moment cinétique donné pour rappel par:

(47.173)

Il vient alors après simplification:

(47.174)

Nous allons maintenant nous permettre une approximation assez grossière (mélange de

relativiste et non relativiste). Soit à considérer la dernière relation, nous avons obtenu lors de

nos développements des trajectoires d'orbitales képlériennes la relation :

(47.175)

Dès lors en injectant ceci dans la relation de nous avons :

(47.176)

Malheureusement, les valeurs numériques pour Mercure ne donnent qu'une précession de 7''

d'angle par siècle et non pas les 43'' d'angle par siècle attendus (...) il manque un facteur 6 que

seulement la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale) permet de trouver. Il est

néanmoins intéressant de constater que la relativité, même restreinte, donne déjà une orbite

qui précesse là où Newton voit une ellipse stable et que cette approximation fonctionne pour

toutes les planètes exceptées Mercure (planète la plus proche du Soleil et subissant de plein

fouet la courbure de l'espace-temps).

Remarque: En appliquant exactement le même raisonnement pour la physique quantique

corpusculaire (potentiel électrique) mais avec les constantes ad-hoc vues dans le chapitre

d'Électrostatique, nous trouvons :

(47.177)

avec étant le moment cinétique et dans le cas de l'atome nous prendrons (cf. chapitres

Physique Quantique Corpusculaire):

(47.178)

avec la masse réduite valant:

(47.179)

Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes

dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du

barycentre Terre-Lune tourne lui aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12''

par an (soit une révolution en environ 100'000 ans).

La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison

d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux

mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction

de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession

climatique.

En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie passe de l'été

à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est pas le facteur prédominant dans la nature

des saisons, la combinaison du passage de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers plus

rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite

terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glacières sont

corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.

(47.180)

Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, ont permis de

confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi la l'excentricité de l'orbite

terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus

importants ont des périodes voisines de 100'00 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000

ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère

quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des

éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.

Remarque: Dans le cas de l'atome d'hydrogène (voir le chapitre de Physique Quantique

Corpusculaire traitant du modèle relativiste de Sommerfeld) avec :

et la constante de structure fine égale approximativement à ~1/137, nous obtenons pour la

précession du périhélie de l'orbite donnée:

(47.181)

selon un point de vue corpusculaire de la matière! (ce qui nous le savons n'est plus à l'ordre du

jour).

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome