Notes sur les transformations - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les transformations - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les transformations - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les transformations dans le plan, la translation, l'homothétie, la rotation.
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Transformations.

Les transformations dans le plan (et plus) sont habituellement définies rigoureusement à l'aide de

la théorie des groupes (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Mais dans le cadre de la géométrie

euclidienne, cette approche ne nous intéressera pas. Nous ferons donc dans ce chapitre

uniquement une approche très peu formelle (donc plus intuitive) aux transformations élémentaires

dans le plan que sont : la translation, l'homothétie et la rotation.

Remarque: Par définition, "l'isométrie" est une transformation qui conserve les distances et les aires.

Comme nous le verrons ci-après, la translation, la rotation et la réflexion sont des isométries, l'homothétie

n'étant elle pas du tout une isométrie dans le plan.

TRANSLATION

Soit une droite dans un plan P sur laquelle deux points A et Bdéfinissent un segment de la droite

noté .

Définition: Une "translation" T ("déplacement" dans une direction donnée comme disait Euclide) de

ce segment de droite associe à chaque point A et B de nouveaux points A'B' tels que .

Nous pouvons donc restreindre la notion de translation à un point uniquement tel que nous

puissions écrire mathématiquement:

(21.119)

Autrement dit, une fonction de transformation de type translation de l'ensemble du plan à lui-

même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La translation est donc une

fonction bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque

notée telle que (rappel de ce qui a été vu en arithmétique) :

(21.120)

Nous disons par définition qu'un point est "invariant par translation" si et seulement si :

(21.121)

Dans un autre type de formalisme, le déplacement du point A au point B selon le vecteur est

appelé "translation de vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Elle se traduit

mathématiquement par la somme des coordonnées du point et de la matrice des coordonnées du

vecteur.

Par exemple dans un espace à trois dimensions:

(21.122)

La translation n'étant pas une transformation linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire), nous ne

pouvons nous autoriser à la représenter par la multiplication d'une matrice carrée comme nous le

verrons pour les autres transformations suivantes.

Il faut pour cela passer alors par un artifice consistant à utiliser un système appelé les

coordonnées homogènes (cf. chapitre de Géométrie Projective) où les points du plan sont

représentés par un vecteur à trois composantes (et respectivement ceux de l'espace par un vecteur

à quatre dimensions):

avec (21.123)

Dans le cadre de l'étude de la translation nous posons car dans ce cas:

(21.124)

Ce système de coordonnées homogènes est applicable à toutes les autres transformations que

nous verrons par la suite en rajoutant à chaque fois une coordonnée (cf. chapitre de Géométrie

Projective).

Remarque: Une translation envoie une droite sur une droite parallèle (parallèle à l'originale bien

évidemment!).

HOMOTHÉTIE

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone,...), un nombre R, et un

point C placé à un endroit prédéfini.

Définition: Une "homothétie" (appelée aussi "changement d'échelle") H de rapport R et de

centre C est l'application qui à chaque point M de la forme associe au segment un nouveau

point colinéaire à mais disposé à une distance supérieure ou inférieure de rapport R par

rapport au centre C tel que

Nous pouvons restreindre la notion d'homothétie à un segment de droite tel que nous puissions

écrire mathématiquement:

(21.125)

Autrement dit, une fonction de transformation de type homothétie de l'ensemble du plan à lui-

même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. L'homothétie est donc une

fonction bijective. On peut donc définir une application de transformation réciproque

notée telle que :

(21.126)

Si , alors C est le seul point invariant. Si , alors tous les points sont invariants et

l'homothétie est dite de type "homothétie identité". Si , alors nous disons alors que nous

avons une "symétrie centrale". La symétrie centrale est donc une rotation de 180°.

Dans un autre type de formalisme, une homothétie de centre O et de rapport k, associe au

point A un point B tel que . Le point B se trouvant sur la droite OA et à une

distance . Le signe de kdétermine la position de B par rapport à O :

(21.127)

Nous nous permettons maintenant de faire un petit passage dans la géométrie spatiale (le saut

n'étant pas bien grand et nécessitant juste la connaissance du calcul vectoriel et de l'algèbre

linéaire) :

Nous pouvons également remplacer le scalaire k par une matrice carrée tel que:

(21.128)

Une solution triviale pour obtenir une homothétie est de poser que d'où

la forme matricielle diagonale évidente de k :

(21.129)

Cette matrice est appelée "matrice de transformation par homothétie de centre O (origine du

repère) et de rapportk" et donc l'homothétie étant une matrice diagonale commute avec toute

application linéaire.

Dans le cas présenté précédemment, l'homothétie conserve les formes dans toutes les axes (sa

géométrie est invariante par transformation) nous utilisons en effet le même facteur k pour tous

les axes. Mais nous pourrions également utiliser la matrice suivante:

(21.130)

qui elle déformerait l'objet selon un facteur différent pour chaque axe.

Ou encore faire un cisaillement dans le plan qui déforme la géométrie selon l'axe x, par exemple

avec :

(21.131)

La transformation inverse de l'homothétie est bien évidemment l'homothétie de centre O et de

rapport soit sous la forme d'une matrice:

(21.132)

Lorsque le centre d'homothétie ne coïncide pas avec l'origine du repère choisi (ce qui arrive

quasiment tout le temps), la procédure de calcul des coordonnées du point image est très simple.

Il faut :

1. Réaliser une translation pour faire correspondre le centre de l'homothétie avec l'origine du

repère et appliquer cette translation à tous les points en jeu.

2. Réaliser l'homothétie proprement dite comme décrit précédemment (le centre est l'origine du

repère).

3. Réaliser la translation inverse pour ramener le centre et l'image à sa place.

ROTATION

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone), un nombre , et un

point C placé à un endroit prédéfini.

Définition: Une "rotation" R d'angle et de centre C l'application qui à chaque point M de la forme

associe au segment un nouveau point mais ayant subie une rotation positive ou

négative d'angle et de centre Ctel que et ont même longueur mais pas même

direction.

De cette définition, il ressort que l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui

restent immobiles.

Remarque: La rotation est également, de manière plus savante, une application bijective dans le plan, nous

pouvons donc également définir une application de transformation réciproque notée .

Si , alors C est le seul point invariant. Si (avec ), alors tous les points sont

invariants et la rotation est dite de type "rotation identité". Si nous choisissons un système d'axes

perpendiculaires adéquat tel que leur intersection se confonde avec C et que alors R est

dite une "rotation de symétrie centrale".

Dans un autre type de formalisme, la rotation s'exprime de manière beaucoup plus rigoureuse.

Nous allons nous aider du dessin d'un cercle de rayon unité (donc dans le plan) pour étudier ce

type de transformation. Nous allons considérer le premier cas ou l'origine du repère et de la

translation son confondus :

(21.133)

où A' est l'image A par la rotation de centre O et d'angle .

Nous avons dans le plan pour le point A (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(21.134)

et identiquement pour le point A' :

(21.135)

avec .

Ce qui nous amène à écrire:

(21.136)

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