Notes sur les transformations - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les transformations - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les transformations - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La transformation inverse, la réflexion.
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Identiquement (en sa basant sur le fait les relations trigonométriques élémentaires présentées

dans le chapitre de Trigonométrie du site sont connues), nous trouvons :

(21.137)

ce qui nous permet d'écrire la matrice de rotation dans le plan (en s'imaginant que l'axe Z sort de

la feuille):

(21.138)

La transformation inverse consiste très simplement à la rotation de centre O (le même

qu'auparavant) et d'angle soit (nous utilisons à nouveaux les relations trigonométriques

évidentes des angles opposés):

(21.139)

Lorsque nous souhaitons procéder à une rotation autour d'un point quelconque, tout comme pour

l'homothétie, il convient de réaliser une translation de vecteur (H étant l'origine du repère de

l'homothétie ) pour faire confondre O et H, puis de réaliser la rotation simple autour de H, et enfin

de ramener O (confondu alors avec H) à son point de départ.

Lors de la rotation d'un objet dans l'espace (nous profitons de la lancée... car nous en aurons

besoin dans plusieurs chapitres relatifs à la physique), la transformation est assez similaire à la

précédente.

Effectivement, lors d'une rotation d'angle , autour de l'axe Z la coordonnée z ne change pas. Ce

qui nous amène à écrire la matrice de rotation dans l'espace tridimensionnel par rapport au plan x,

y comme étant :

(21.140)

La philosophie est ensuite toujours la même relativement aux autres axes :

Rotation autour l'axe X d'angle :

(21.141)

Rotation autour de l'axe Y d'angle :

(21.142)

Nous avons donc finalement trois matrices de rotation correspondant chacune à un des

plans de l'espace tridimensionnel.

Ces trois matrices font partie du groupe des matrices d'ordre trois, noté "SO(3)" et appelé par les

physiciens et mathématiciens "groupe de rotations spatiales SO(3)". Une rotation quelconque peut

donc être représentée par la matrice produit résultant du produit de ces trois matrices.

Toute rotation consiste ensuite en une composition des ces trois rotations mais il est important

que le lecteur se souvienne du chapitre d'Algèbre Linéaire où nous avions vu que la multiplication

matricielle n'est pas commutative. Ainsi, tourner autour de l'axe X de 90° et ensuite autour de

l'axe Z de 90° n'est pas équivalent à faire tourner d'abord selon l'axe Z et ensuite selon l'axe X du

même angle comme le montre l'image ci-dessous:

(21.143)

Enfin, pour obtenir la matrice qui compose un cas particulier des trois rotations voici par exemple

les commandes à fournir dans Maple:

>X:=array([[1,0,0],[0,cos(theta),sin(theta)],[0,-sin(theta),cos(theta)]]);

>Y:=array([[cos(lambda),0,-sin(lambda)],[0,1,0],[sin(lambda),0,cos(lambda)]]);

>Z:=array([[cos(phi),sin(phi),0],[-sin(phi),cos(phi),0],[0,0,1]]);

>evalm(X&*Y&*Z);

Si nous cherchons à réaliser la composition d'une rotation R et d'une homothétie d'échelle H (dans

cet ordre) la matrice de transformation sera :

(21.144)

Remarques:

R1. Nous rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que la multiplication de 2 matrices n'est pas

commutative.

R2. La similitude directe de centre C, de rapport R et d'angle est la composée de l'homothétie de

centre Cet de rapport R et de la rotation de centre C et d'angle . Nous renvoyons le lecteur au

chapitre sur les Nombres pour revoir que les nombres complexes permettent formellement d'opérer

avec les opérations d'addition et de multiplication à des similitudes (directes ou rétrogades).

R3. Nous pouvons faire des rotations beaucoup plus puissantes et variables à l'aide des nombres

quaternions (ou "hypercomplexes"). Pour plus d'informations le lecteur se reportera au chapitre sur

les Nombres.

RéFLEXION

Définition: La "réflexion", appelée également "symétrie axiale", notée (en géométrie) par

rapport à la droite est l'application qui associe à chaque point M extérieur à le point M' tel

que soit la médiatrice deMM '. Si M appartient à , alors .

Mathématiquement cela s'écrit:

(21.145)

Autrement dit, une fonction de transformation de type réflexion de l'ensemble du plan à lui-même

associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La réflexion est donc une fonction

bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque notée telle

que:

(21.146)

Remarque:Tous les points de sont trivialement invariants par la réflexion dans le plan.

Sous forme matricielles les réflexions du plan sont extrêmement simple à formaliser en utilisant

l'algèbre linéaire (voir chapitre du même nom) comme le montrent les exemples ci-dessous:

- Réflexion par rapport à l'axe des Y:

(21.147)

- Réflexion par rapport à l'axe des X:

(21.148)

- Réflexion par rapport à l'origine:

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