Notes sur les triangles - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les triangles - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les triangles - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion, démonstrations, les triangles égaux, les triangles isocèles, les triangles équilateraux, les triangles recta...
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Triangles.

Nous avions étudié jusqu'à présent le concept de dimensions, de point, de segment, de ligne,

d'angle et de plan ouvert (infini). Cependant un plan peut-être délimité par plusieurs lignes pour

obtenir ainsi des formes géométriques (planes) dont les plus simples peuvent être considérées

comme les triangles.

Définition: Nous appelons "triangle" la figure formée par trois segments AB, BC, CA, les

points A,B,C n'étant pas alignés. Les segments AB, BC, CA, sont les "côtés" du triangle. Les

points A,B,Csont les "sommets" du triangle. L'angle saillant , qui contient toues les points du

côté BC, s'appelle angle du triangle et BC est alors sont "côté opposé".

Remarque: Nous employons la notation lorsque aucune confusion n'est possible; à défaut, nous utilisons

la notation avec le même sens.

Il y a six éléments dans un triangle, à savoir : trois angles , , et trois côtés AB, BC, CA.

Nous désignerons par , , les longueurs des côtés mesurés avec la même

unité; par , , , les mesures des angles.

La somme des angles d'un triangle plan est toujours égale à 180° (ou radians). La

démonstration est assez simple.

Démonstration:

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque, et D la parallèle à (BC) qui passe par A.

Nous observons :

1. Les angles bleus ont même mesure car ils sont alternes-internes (les droites (BC) et D étant

parallèles).

Remarque: Pour la démonstration de l'égalité des angles alternes-internes voir plus loin le quatrième

axiome d'Euclide.

2. De même, les angles verts ont même mesure car ils sont alternes-internes.

3. Nous remarquons que la somme des angles bleu + rouge + vert forme un angle plat en A,

puisque D est une droite. Donc angle bleu + angle rouge + angle vert = 180°.

4. D'après les égalités d'angles constatées en (1.) et (2.), nous déduisons que :

(21.51)

Cette démonstration étant valable quel que soit le triangle tracé dans le plan.

C.Q.F.D.

TRIANGLES ÉGAUX

Définitions: Nous disons que deux triangles sont des "triangles égaux" lorsque nous pouvons par

un déplacement soit par un retournement ou les deux combinés, superposer tous les sommets du

premier triangle au deuxième. Nous disons alors aussi que les triangles sont des "triangles

homologues"

De cette définition, il vient que deux triangles sont égaux lorsque soit:

1. Ils ont un côté égal et deux angles égaux

2. Deux côtés égaux et un angle égal (réciproque de (1.))

Démonstrations:

Premier cas d'égalité : Deux triangles qui ont un côté égal BC=B'C', compris entre deux angles

égaux , sont égaux.

Puisque BC=B'C' (voir figure ci-dessous), il existe un déplacement qui amène B' en B et C' en C. Ce

déplacement amène A' en situé du même côté par rapport à la droite BC, ou en symétrique

de par rapport à cette droite.

Les deux demi-droites BA et font par hypothèse, avec BC le même angle . Comme

elles sont par construction d'un même côté de BC, elles sont confondues. Les deux demi-

droites CA et sont confondues pour la même raison et parce que . est donc

confondu avec A. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont donc égaux.

(21.52)

Deuxième cas d'égalité : Deux triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés

égaux AB=A'B',AC=A'C' sont égaux.

Puisque AB=A'B' (voir figure ci-dessous) il existe un déplacement situé par rapport à AB du même

côté que le point. S'il l'amenait en symétrique de par rapport à AB, un demi-tour autour

de AB l'amènerait en . Les demi-droites situées d'un même côté de AB font, par

hypothèse le même angle avec AB, puisque . Elles sont donc confondues.

L'hypothèse entraîne alors que et sont confondus. Les deux triangles ABC,

A'B'C' sont donc égaux.

(21.53)

C.Q.F.D.

TRIANGLES ISOCÈLES

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle isocèle" lorsque deux de ses côtés sont

égaux ("iso" signifiant "même") AB et AC sont égaux. Le troisième côté BC est alors appelé la

"base" de ce triangle.

Remarque: Nous disons qu'un triangle est "scalène" quand il n'est pas isocèle.

Définition: Nous appelons "médiatrice" d'un segment BC, la perpendiculaire à la droite BC au

point H de cette droite, milieu de BC.

(21.54)

Théorème : Dans un triangle isocèle ABC comme représenté ci-dessus:

1. Les angles et opposés aux côtés égaux sont égaux

2. La médiatrice de BC et la bissectrice de l'angle sont confondus (figure ci-dessus)

Démonstration:

Les deux triangles BAH, CAH définis par la bissectrice de ont un angle égal par

construction compris entre deux côtés égaux : AH qui est commun et AB=AC par hypothèse.

Comme les angles sont droits et égaux et que la somme des angles d'un triangle est

égal à un angle plat, alors les angles et sont donc égaux.

C.Q.F.D.

Théorème: Le lieu géométrique des points M équidistants (à même distance) de deux

points B et C donnés est la médiatrice (D) du segment BC.

Remarque: Nous appelons "lieu géométrique" d'un point M, assujetti à des conditions, l'ensemble des

positions occupées par le point M.

Démonstration:

(21.55)

1. Tout point du lieu est sur la droite (D). Autrement dit, l'hypothèse MB=MC entraîne que M est la

médiatrice deBC. En effet, si MB=MC, le triangle MBC est isocèle et le sommet M est sur la

médiatrice de BC.

2. Tout point de (D) est un point du lieu. Ce qui revient à dire que si M est sur la médiatrice de BC,

nous avonsMB=MC. En effet, si M est sur la droite (D) qui rencontre en H, milieu de BC, la

droite BC, les triangles MHB, MHCsont égaux (deuxième cas d'égalité : parce que

ces angles sont droits, HM commun;HB=HC parce que H est le milieu de BC) : les

côtés MB, MC sont donc égaux et nous avons bien MB=MC. Le point M est un point du lieu.

C.Q.F.D.

A l'aide de ce théorème nous pouvons en énoncer un second : Par un point A pris hors d'une

droite BC, nous pouvons mener à cette droit une seule et unique perpendiculaire :

Démonstration:

1. Soit un triangle ABC, faisons subir à ce triangle un demi-tour autour de BC (symétrie

horizontale) : A vient enA' symétrique de A par définition, par rapport à BC. Puisque les

figures ABC, A'BC sont égales, AB=A'B et AC=A'C. BC est donc la médiatrice de AA' et les

droites BC et AA' sont perpendiculaires. AA' est donc bien une perpendiculaire à BC menée par A.

2. Nous ne pouvons en mener plusieurs : soit AH une perpendiculaire menée de A à BC, elle

rencontre la droiteBC en H qui est différent soit de B, soit de C. Supposons que H soit différente

de B. qui se déduisent l'un de l'autre par retournement, sont égaux, et, comme

chacun d'eux est droit, l'angle est plat. La droite AH est confondue avec la droite AA' est

donc bien la seule perpendiculaire à BC qui passe par A.

C.Q.F.D.

Définitions:

D1. Nous appelons "projection orthogonale" d'un point A sur une droite BC le point H où la

perpendiculaire menée par A à cette droite la rencontre. Le point H s'appelle aussi "pied" de cette

perpendiculaire.

D2. Nous appelons "distance géométrique" du point A à la droite BC la longueur du segment AH.

Puisque BC est la médiatrice de AA', H est le milieu de AA'; donc : Un point A et son symétrique A'

par rapport à une droite (D) sont caractérisés par les deux propriétés suivantes :

P1. AA' est perpendiculaire à (D)

P2. Le milieu de AA' est sur (D)

La droite AB, qui joint le point A à un point de la droite BC, autre que le pied H de la

perpendiculaire menée de Aà cette droite, s'appelle "droite oblique". Le point B s'appelant "pied

l'oblique".

TRIANGLES ÉQUILATERAUX

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle équilatéral" lorsque tous ses côtés sont

de longueur égales ou que tous ses angles sont égaux. Chacun de ces côtés est donc une

base.

(21.56)

Remarque: Nous prenons pour habitude d'annoter les côtés égaux par deux traits parallèles disposés au

milieu de la base.

Comme la somme des trois angles de ce triangle doit faire 180° (en degrés) et que les trois angles

ont même mesure, chacun d'eux mesure donc : 180°/3 soit 60°.

TRIANGLES RECTANGLES

Définition: Un "triangle rectangle" est un triangle ABC qui a un angle droit :

(21.57)

Dire que le triangle est rectangle en A signifie c'est en se trouve l'angle droit.

Remarque: Dans un triangle rectangle, le côté le plus grand est toujours le côté opposé à l'angle droit. Nous

l'appelons "l'hypoténuse". Nous démontrons cette propriété avec le théorème de Pythagore (voir plus bas).

TRIANGLES RECTANGLES-ISOCÈLES

Définition: Un "triangle rectangle-isocèle" ABC est à la fois rectangle et isocèle, ce qui signifie qu'il

a à la fois un angle droit et deux côtés de même longueur.

(21.58)

Remarques: Le sommet principal correspond à l'angle droit. En effet, comme BC, l'hypoténuse, doit être le

côté le plus grand, ce sont les côtés AB et AC qui ont même longueur (plus petite).

INÉGALITÉS DANS LES TRIANGLES

Voyons maintenant quelques inégalités (propriétés) intéressantes dans le triangle.

P1. Montrons d'abord que dans tout triangle, un côté opposé à un angle droit ou obtus (supérieur

à 90° donc...) est supérieur à chacun des deux autres côtés du triangle.

Démonstration:

Considérons le triangle ABC ci-dessous dans lequel et soit Cx le prolongement du

côté BC. Portons, sur la demi-droite Bx, une longueur pour construire un triangle

isocèle dans le triangle initiale:

(21.59)

Le triangle BAD est donc un triangle isocèle de base AD dont l'angle à la base BAD est bien

évidemment aigu (inférieur à 90°).

Donc par construction . La droite AD est intérieure par construction à l'angle et

par suite:

(21.60)

et comme par construction nous avons donc:

(21.61)

Ce qui terme notre démonstration. Car la démarche est la même pour montrer que .

C.Q.F.D.

P2. Dans tout triangle dont les côtés ont des longueurs strictement croissantes, alors un côté est

toujours inférieur à la somme des deux autres.

Démonstration:

Supposons que dans le triangle ABC ci-dessous les côtés soient tels

que :

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