Notes sur les triangles - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les triangles - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les triangles - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de pythagore, le théorème de thalès.
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(21.62)

Soient D le point du côté BC tel que soit les côtés du triangle isocèle construit ABD.

Nous obtenons:

(21.63)

Le triangle ABD étant isocèle, l'angle à la base est aigu et son supplément est obtus.

Dans le triangle ADC, nous obtenons d'après la propriété P1 précédente que , c'est-à-

dire:

(21.64)

ou:

(21.65)

il s'agit de la fameuse "inégalité triangulaire" sous forme géométrique. Nous la retrouverons dans

de nombreux autres chapitres du site dans des espaces et des concepts mathématiques plus

abstraits.

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

(21.66)

C.Q.F.D.

P3. Dans tout triangle un côté quelconque est supérieur à la différence des deux autres.

Démonstration:

Supposons que nous ayons . En retranchant c aux deux membres de l'inégalité:

(21.67)

il vient immédiatement:

(21.68)

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

(21.69)

En définitive puisque:

et (21.70)

pour tout triangle à côtés croissants nous avons:

(21.71)

C.Q.F.D.

THÉORÈME DE PYTHAGORE

Maintenant que nous avons vu ce qu'était le triangle et certaines de ses propriétés ainsi que le

concept d'angle, nous pouvons démontrer le fameux "théorème de Pythagore" (qui donne donc la

relation que doivent satisfaire trois nombres qui représentent les côtés d'un triangle rectangel) et

faire de la trigonométrie du cercle (cf. chapitre de Trigonométrie).

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème dont en voici une parmi tant d'autres :

Démonstration:

Soit un carré (4 angles droit) dans lequel est inscrit un autre carré, nous déterminons la surface

du carré inscrit à partir des triangles rectangles résultants de l'espace vide entre les deux carrés

tel que présenté sur la figure ci-dessous :

(21.72)

La surface du carré blanc est bien sûr :

(21.73)

Pour avoir la surface du carré gris on peut soustraire au carré blanc la surface des 4 triangles

rectangles (d'une surface de moitié de celle d'un quadrilatère de même longueur et hauteur),

chacun de surface :

(21.74)

La surface du carré gris est donc finalement :

(21.75)

Après simplification, Le résultat obtenu étant équivalent au carré des côtés de la surface grise,

avons le résultat du fameux "théorème de Pythagore" :

(21.76)

C.Q.F.D.

Remarque: C'est au chinois Tchao Kiung K'ing (2ème siècle) que l'on doit cette démonstration.

THÉORÈME DE THALÈS

Ayant démontré le théorème de Pythagore et maintenant que les concepts de parallèles, segments,

angles et autres nous sont connus, nous pouvons enfin démontrer le théorème de Thalès dont

voici une possible démonstration qui nécessite d'abord le développement de deux lemmes :

L1. Triangles de même surface

Soit la figure:

(21.77)

Nous avons:

(21.78)

EFGH est un rectangle car ses côtés sont parallèles deux à deux et il a au moins deux angles

droits. Donc ses côtés opposés ont même longueur: EH=FG.

est la hauteur relative à dans le triangle EAB et FG est la hauteur relative à dans le

triangleFAB.

La surface du triangle ne dépend que de la longueur du côté et de la longueur de la hauteur

relative à ce côté. Pour les deux triangles EAB et FAB, ces longueurs sont égales, donc ils ont la

même surface.

Conclusion: Si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont une parallèle

à ce côté commun, alors ils ont la même surface.

L2. Rapports égaux

Soit le rapport de proportions ("calcul proportionnel" ou "produit en croix"):

(21.79)

alors:

(21.80)

Si ad=bc, alors ad+cd=bc+cd (nous ajoutons un même nombre positif ou négatif aux deux

membres). D'où après factorisation:

(21.81)

et en appliquant inversement la règle des produits en croix:

(21.82)

Exposons maintenant en quoi consiste le théorème de Thalès :

Soit la figure:

(21.83)

Avec:

(21.84)

Nous avons montré précédemment que si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes

sommets son sur une parallèle, alors ils ont la même surface. Donc les triangles ACD et BCD ont la

même surface.

En ajoutant à chacune de ces deux surfaces celle du triangle OCD, nous obtenons que les

triangles ODA etOCB ont la même surface.

Nous en déduisons que en utilisant à nouveau le rapport en croix:

(21.85)

Soit la hauteur issue de D dans le triangle OCD et la hauteur issue de C dans le

triangle OCD:

et (21.86)

Conclusion:

(21.87)

Soit maintenant la figure:

(21.88)

Les triangles IJD et IDB ont la même surface d'après le lemme 1, ainsi que les

triangles OJD et OIB donc :

(21.89)

d'où :

(21.90)

et donc :

(21.91)

De la même manière dans les triangles OIA et OCJ, nous obtenons :

(21.92)

D'après le lemme 2, comme :

(21.93)

alors :

(21.94)

Donc finalement en reprenant tous les résultats obtenus:

(21.95)

qui constitue le "théorème de Thalès" des rapports.

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