Notes sur les types de matrices, Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les types de matrices, Notes de Trigonométrie

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Notes de mathématique sur les types de matrices. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les Définitions, les remaruqes, les différents types de matrices.
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TYPE DE MATRICES

Afin de simplifier les notations et la longueur des calculs nous allons introduire ici les matrices

types que le lecteur pourra rencontrer tout au long de sa lecture du site (et pas que dans la

partie de mathématiques pures!).

Définitions:

D1. Soit A une matrice carrée (c'est-à-dire ). La matrice A est dite "matrice

inversible" ou "matrice régulière" si et seulement si est telle que :

(13.44)

où :

(13.45)

si tel n'est pas le cas, nous disons que A est une "matrice singulière".

Cette définition est fondamentale, elle a des conséquences extrêmement importantes dans tout

l'algèbre linéaire et aussi dans la physique (résolution de système linéaires, déterminant,

vecteurs et valeurs propres, etc.) il convient donc de s'en souvenir.

D2. Soit :

(13.46)

une matrice de . Nous appelons "matrice transposée" de A, la matricée notée

(le T en exposant est selon les ouvrages en majuscule ou en minuscule), de définie

par (nous mettons les lignes en colonnes et les colonnes en lignes) :

(13.47)

Voici quelques propriétés intéressantes (nous seront par ailleurs utiles plus tard lors d'un

théorème fameux!) de la transposée:

(13.48)

et aussi une propriété importante de la matrice transposée (la vérification se fait aussi par

l'exemple) :

(13.49)

La matrice transposée est très important en physique et en mathématique dans le cadre de la

théorie des groupes et symétries! Il convient donc aussi de se souvenir de sa définition.

D3. Soit :

(13.50)

une matrice de . Nous appelons "matrice adjointe" de A, la matricée,

de définie par :

(13.51)

qui est donc la complexe conjuguée de la matrice transposée ou si vous préférez... la

transposée de la matrice conjuguée A (dans le cas de coefficient réels... on se passera de la

conjuguer!). Pour simplifier les écritures nous la notons simplement (écriture fréquente en

physique quantique et algèbre ensembliste).

Remarques: Relation triviale (qui sera souvent utilisée en physique quantique des champs) :

(13.52)

D4. Par définition, une matrice est dite "matrice hermitique" ou "matrice hermitienne" ou

"matrice self-adjointe" ou encore "matrice autoadjointe"... si elle est égale à son adjointe

(matrice transposée conjuguée) tel que :

(13.53)

D5. Soit A une matrice carrée de , la "trace" de A, notée est définie par :

(13.54)

Quelques relations utiles y relatives (dont nous pouvons rajouter les démonstrations détaillées

sur demande) :

(13.55)

D6. Une matrice A est dite "matrice nilpotent" si en la multipliant successivement par elle-

même elle peut donner zéro. En clair, s'il existe un entier tel que :

(13.56)

Remarque: Pour se souvenir de se mot, nous le décomposons en "nil" pour nulle et "potent" pour

potentiel. Ainsi, quelque chose de nilpotent est donc quelque chose qui est potentiellement nul.

D7. Une matrice A est dite "matrice orthogonale" si ses éléments sont réels et si elle obéit à :

(13.57)

ce qui se traduit par (où est le symbole de Kronecker) :

(13.58)

Les vecteurs colonnes de la matrice sont donc normés à l'unité et orthogonaux entre eux (ou de

même avec ses lignes!). Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormée!

Remarques:

R1. C'est typiquement le cas de la matrice de la base canonique, ou de toute matrice

diagonalisable.

R2. Si au lieu de prendre simplement une matrice avec des coefficients réels, nous prenons une

matrice à coefficients complexes avec sa transposée complexe (matrice adjointe). Alors, nous

disons que A est une"matrice unitaire" si elle satisfait à la relation ci-dessus!

Nous reviendrons plus tard, après avoir présenté les concepts de vecteurs et valeurs propres,

sur un cas particulier et très important de matrices orthogonales (appelées "matrices de

translations").

Signalons encore une autre propriété importante en géométrie, physique et statistiques des

matrices orthogonales.

Soit , où A est une matrice orthogonale et . Alors f (respectivement A) est

une isométrie. C'est-à-dire que:

(13.59)

Démonstration:

(13.60)

et donc nous avons bien :

(13.61)

Donc en d'autres termes : Les matrices orthogonales sont des applications linéaires qui

conservent la norme (les distances).

C.Q.F.D.

D8. Soit une matrice carrée. La matrice A est dite "matrice symétrique" si et

seulement si :

(13.62)

Nous retrouverons cette définition en calcul tensoriel.

D9. Soit une matrice carrée. La matrice A est dite "matrice anti-symétrique" si et

seulement si :

(13.63)

ce qui impose que :

(13.64)

Nous retrouverons cette définition dans le chapitre de Calcul Tensoriel.

D10. Soit une matrice carrée. La matrice A est dite "matrice triangulaire

supérieure" si et seulement si :

(13.65)

D11. Soit Soit une matrice carrée. La matrice A est dite "matrice triangulaire

inférieure" si et seulement si :

(13.66)

D12. Soit , une matrice carrée. La matrice D est dite "matrice diagonale" si et

seulement si :

(13.67)

La notation habituelle d'une matrice diagonale D étant :

(13.68)

D13. Soient E un espace vectoriel, de dimension n et deux bases de E :

(13.69)

Nous appelons "matrice de passage" de la base à la base , et nous noterons P la matrice

de dont les colonnes sont formées des composantes des vecteurs de sur la

base (voir plus loin traitement détaillé des changements de base pour plus d'infos).

Nous considérons le vecteur de E qui s'écrit dans les

bases et suivant les relations :

(13.70)

Soit :

(13.71)

le vecteur de formé des composantes de dans la base et respectivement le vecteur

formé des composantes de dans la base . Alors :

(13.72)

relation pour laquelle la démonstration détaillée sera donnée plus loin lors de notre étude des

changements de base. Nous avons également:

(13.73)

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