Notes sur les valeurs et les vecteurs propres, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les valeurs et les vecteurs propres, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les valeurs et les vecteurs propres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, les matrices de rotation.
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VALEURS ET VECTEURS PROPRES

Définition: Une "valeur propre" est par définition (nous retrouverons cette définition dans

l'introduction à l'algèbre quantique dans le cadre du chapitre de Physique Quantique

Ondulatoire) une valeur appartenant à un corps K tel que soit une matrice carrée

nous avons :

(13.167)

et réciproquement qu'un vecteur est un "vecteur propre" si et seulement si :

(13.168)

L'avantage majeur de ces concepts sera la possibilité d'étudier une application linéaire, ou tout

autre objet lié à une représentation matricielle, dans une représentation simple grâce à un

changement de base sur laquelle la restriction de A est une simple homothétie.

En d'autres termes: lorsqu'une transformation (application d'une matrice) agit sur un vecteur,

elle modifie la direction de ce vecteur excepté pour certaines matrices particulières qui ont des

valeurs propres!

Ainsi, l'ensemble des valeurs propres d'une matrice est appelé "spectre de A" et

satisfait au système homogène :

(13.169)

ou (peu importe cela revient au même!) :

(13.170)

où (aussi notée ) est une matrice diagonale unitaire (et donc aussi carrée) de dimension n .

Ce système nous le savons (démontré plus haut) admet des solutions non triviales,

donc ou , si et seulement si (nous verrons de nombreux exemples en

physique) :

(13.171)

Le déterminant est donc un polynôme en de degré n et peut donc avoir aux

maximum nsolutions/valeur propres comme nous l'avons démontré lors de notre étude des

polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) et est appelé "polynôme caractéristique" de A et

l'équation "équation caractéristique de A" ou "équations aux valeurs propres".

Pour la petite paranthèse, il est sympathique de remarquer que nous avons toujours dans le

développement du la trace de la matrice tr(A) et le déterminant det(A) qui

apparaissent. Voyons deux exemples de cela:

(13.172)

et:

(13.173)

Si nous regardons comme une application linéaire f, puisque ce sont les solutions

non triviales qui nous intéressent, nous pouvons alors dire que les valeurs propres sont les

éléments tel que :

(13.174)

et que le Kernel constitue l'espace propre de A de la valeur propre dont les éléments non

nuls sont les vecteurs propres!

En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'applique donc à

une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés,

selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une

même constante. Ce rapport de dilatation/homothétie est donc la valeur propre, les vecteurs

auxquels il s'applique vecteurs propres, réunis en un "espace propre".

Une autre manière de voir la chose :

- Un vecteur est dit "vecteur propre" par une application linéaire s'il est non nul et si

l'application ne fait que modifier sa taille sans changer sa direction.

- Une "valeur propre" associée à un "vecteur propre" est le facteur de modification de taille,

c'est à dire le nombre par lequel il faut multiplier le vecteur pour obtenir son image. Ce facteur

peut être négatif (renversement du sens du vecteur) ou nul (vecteur transformé en un vecteur

de longueur nulle).

- Un "espace propre" associé à une "valeur propre" est l'ensemble des vecteurs propres qui ont

une même valeur propre et le vecteur nul. Ils subissent tous la multiplication par le même

facteur.

Remarque: En mécanique, nous étudions les fréquences propres et les modes propres des

systèmes oscillants (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). En analyse fonctionnelle, une

fonction propre est un vecteur propre pour un opérateur linéaire, c'est-à-dire une application

linéaire agissant sur un espace de fonctions cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). En géométrie

ou en optique, nous parlons de directions propres pour rendre compte de la courbure des surfaces

(cf. chapitre de Géométrie Non- Euclidiennes). En théorie des graphes, une valeur propre est

simplement une valeur propre de la matrice d'adjacence du graphe (cf. chapitre de Théorie Des

Graphes).

MATRICES DE ROTATION Maintenant que nous avons vu ce qu'était une valeur et un vecteur propre, revenons sur un type

particulier de matrices orthogonales qui nous seront particulièrement utiles dans notre étude

des quaternions (cf. chapitre sur les Nombres), des groupes et symétries (cf. chapitre d'Algèbre

Ensembliste) et de la physique des particules (cf. chapitre de Physique des Particules

Elémentaires).

Nous notons, selon ce qui a été vu dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste, O(n) l'ensemble des

matrices à coefficients dans orthogonales, c'est-à-dire vérifiant :

(13.175)

que nous notons aussi pour rappel :

(13.176)

Les colonnes et les lignes d'une matrice orthogonale forment des bases orthonormées

de pour le produit scalaire habituel.

Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut , en effet entraîne :

(13.177)

Nous notons SO(n) l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1. Montrons en trois

points que si alors A est la matrice d'une rotation par rapport à un axe passant

par l'origine.

1. Toute valeur propre d'une matrice de rotation A (réelle ou complexe) est de module 1. En

d'autres termes, la rotation conserve la norme :

En effet, si est une valeur propre de vecteur propre , nous avons :

(13.178)

ou en notant le produit scalaire avec la notation habituelle du site :

(13.179)

donc .

2. Il existe une droite dans l'espace qui sert d'axe de rotation et tout vecteur sur cette droite ne

subit aucune rotation :

Notons un vecteur propre normé de valeur propre 1 (c.à.d un vecteur tel que ).

Comme le lecteur l'aura peut-être compris (lire jusqu'au bout!), la droite engendrée par que

l'on notera constitue notre axe de rotation.

En effet, tout vecteur sur est envoyé sur lui-même par A. Dans ce cas l'espace orthogonal

noté qui est de dimension deux est le plan perpendiculaire à l'axe de rotation.

3. Tout vecteur perpendiculaire à l'axe de rotation reste, après une rotation, perpendiculaire à

cet axe. En d'autres termes, est invariant par A

En effet, si alors, et pour tout :

(13.180)

c'est-à-dire . Donc est invariant par A.

En fin de compte, la restriction de A à l'espace est une rotation.

Exemple :

Soit (voir le chapitre sur les nombres où la rotation par les complexes est démontré) une

valeur propre (dont le module est de 1 comme nous l'avons vu lors de notre étude des nombres

complexes) de A restreinte à .

Notons un vecteur propre avec de sorte que :

(13.181)

avec (comme nous l'avons déjà montré dans notre étude des nombres complexes) :

(13.182)

où nous savons de par notre étude des nombres complexes, que les vecteurs forment une

base orthogonale (pas nécessairement normée!) de .

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