Notes sur les variétés, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les variétés, Notes de Mathématiques

PDF (121.2 KB)
2 pages
32Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les variétés. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, les variétés différentiables.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

VARIÉTÉS

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont

"localement comme " (notre espace par exemple..).

Définitions:

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour

tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert et

un homéomorphisme :

(18.55)

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est

également continu.

D3. Les couples sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte"

et "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de

coordonnées".

Remarque: Nous noterons par dim M la dimension d'une variété topologique. Ainsi :

(18.56)

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un

"atlas" si pour tout , il existe une carte telle que .

Remarque: Notons que si sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas

l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes :

(18.57)

(18.58)

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications sont

des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application où sont des domaines ouverts

de et sif est un homéomorphisme et en plus si sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

D3. Soit une variété topologique (pour simplifier l'écriture), deux

cartes de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de

classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1. et l'application de changement de cartes est un difféomorphisme

P2.

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

D4. Une "variété différentiable" est un couple (M , A) où M est une variété topologique et A un

atlas différentiable de M.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome