Notes sur  les vérifications expérimentales - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 January 2014

Notes sur les vérifications expérimentales - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les vérifications expérimentales - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la précession du périhélie de mercure, La première solution possible, l'équation du mouvement, la formu...
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Nous allons maintenant passer en revue les quatre vérifications expérimentales classiques du

20ème siècle de la théorie de la relativité générale qui sont :

1. La précession du périhélie qui au niveau des résultats numériques nous posait problème avec

les outils de la mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

2. La déflexion des ondes électromagnétiques (lumière) passant proche d'un corps stellaire

massif qui au niveau des résultats numériques nous posait aussi problème avec les outils de la

mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

3. La démonstration du critère de Schild (déjà fait dans les paragraphes précédents) comme

seul moyen d'expliquer rigoureusement le redshift gravitationnel et l'hypothèse de

ralentissement du temps dans un champ gravitationnel.

4. Le retard des signaux électromagnétiques se propageant près de corps massif. Retard

désigné sous le nom "d'effet Shapiro" dont les applications numériques sont utilisées pour le

fonctionnement du G.P.S et que nous verrons plus loin.

précession du PÉRIHÉLIE DE MERCURE

Traitons donc maintenant un des plus fameux exemples de la relativité générale : la précession

du périhélie de Mercure. Nous avions déjà traité dans le chapitre d'Astronomie ce cas mais nous

avions mentionné que le résultat théorique numérique ne correspondait pas à l'expérience.

Nous allons voir en l'équivalent d'une dizaine de pages A4 de développements détaillés

comment la relativité générale permet de réconcilier théorie et expérience.

Pour étudier cas, nous allons utiliser le formalisme lagrangien vu dans le chapitre de Mécanique

Analytique.

D'abord, rappelons que nous avons obtenu pour la métrique de Schwarzschild :

(50.292)

D'où en divisant par :

(50.293)

et pour abréger les notations, nous poser tel que :

(50.294)

Maintenant rappelons que (cf. chapitre de Mécanique Analytique) en unités naturelles :

(50.295)

Donc (c'est très grossier mais cela fonctionne... c'est aussi ça parfois la physique...) :

(50.296)

Enfin cela signifie que le lagrangien est :

(50.297)

Les équations de Lagrange nous donnent pour la :

(50.298)

avec donc :

(50.299)

d'où :

(50.300)

et :

(50.301)

d'où finalement pour la coordonnée :

(50.302)

Faisons de même pour :

(50.303)

et il vient immédiatement :

(50.304)

Faisons de même pour t :

(50.305)

et il vient ici aussi immédiatement :

(50.306)

Dès lors :

(50.307)

Maintenant nous allons supposer que le mouvement de Mercure est dans le plan équatorial tel

que . Dès lors, la relation :

(50.308)

se simplifie en :

(50.309)

d'où :

(50.310)

Nous avons aussi dès lors l'expression de la ligne d'univers qui se simplifie en :

(50.311)

Remplaçons alors dans l'élément de ligne d'Univers :

(50.312)

Considérons aussi r comme fonction alors :

(50.313)

d'où :

(50.314)

Ainsi, nous pouvons récrire la ligne d'univers sous la forme :

(50.315)

Faisons un changement de variable en posant :

(50.316)

d'où :

(50.317)

Ce qui donne pour notre ligne d'univers :

(50.318)

ou :

(50.319)

en différenciant :

(50.320)

ou écrit autrement :

(50.321)

ce qui se simplifie et factorise en :

(50.322)

La première solution possible est bien évidemment :

(50.323)

d'où comme r=1/u :

(50.324)

Le mouvement circulaire est donc aussi une solution du problème de Kepler en relativité

générale dans un champ de Schwarzschild.

L'autre solution sera :

(50.325)

Soit écrit autrement :

(50.326)

elle correspond à l'orbite du problème de Kepler.

Faisons la comparaison en considérant en mécanique de Newton le mouvement d'une particule

de masse m dans un potentiel U. Le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est alors :

(50.327)

En coordonnées polaires nous avons déjà vu dans différents chapitre (de Calcul Vectoriel et

d'Astronomie) que la vitesse s'écrit alors :

(50.328)

En utilisant l'équation d'Euler-Lagrange nous avons l'équation du mouvement :

(50.329)

ce qui donne :

et (50.330)

d'où :

(50.331)

et comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Astronomie :

(50.332)

est la constante des aires. Introduisons :

(50.333)

d'où :

(50.334)

et donc :

(50.335)

Ainsi :

(50.336)

L'équation :

(50.337)

devient alors :

(50.338)

Or :

(50.339)

d'où :

(50.340)

soit :

(50.341)

ou :

(50.342)

Il s'agit simplement de la "formule de Binet non relativiste" qui donne donc la relation

entre u=1/r et pour une force centrale. Dans le cas d'un potentiel newtonien :

(50.343)

d'où :

(50.344)

avec pour rappel :

(50.345)

Or, rappelons la forme de celle que nous avions obtenue avec la relativité générale :

(50.346)

Ainsi, nous voyons que le terme analogue en relativité est :

(50.347)

et que la relativité générale ajouter le terme . Or, comme en relativité générale :

(50.348)

Alors :

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