Notes sur les vérifications expérimentales - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur les vérifications expérimentales - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur les vérifications expérimentales - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, remarques.
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(50.349)

Or, dans le cas de l'approximation des champs faibles :

(50.350)

d'où :

(50.351)

donc finalement :

(50.352)

Ceci dit, il est vraiment intéressant de remarquer que l'équation pour la relativité générale :

(50.353)

peut être interprétée comme l'équation de Binet pour la mécanique classique :

(50.354)

avec le potentiel :

(50.355)

avec .

Revenons maintenant à notre équation :

(50.356)

Nous aimerions savoir si le deuxième terme à gauche de l'égalité est négligeable ou non par

rapport au premier terme de gauche de l'égalité et ce afin de pouvoir appliquer la théorie des

perturbations.

Nous allons d'abord poser à l'aide de l'approximation des champs faibles faite plus haut :

(50.357)

Maintenant calculons le rapport :

(50.358)

Rappelons qu'en coordonnées polaires :

(50.359)

en approximation nous pouvons grossièrement poser que :

(50.360)

Dès lors pour Mercure... :

(50.361)

Ainsi nous voyons de suite que nous pourrons appliquer les théories variationnelles sur le

terme . Ainsi, posons :

(50.362)

L'équation :

(50.363)

prend alors la forme :

(50.364)

Pour résoudre cette équation différentielle, nous allons utiliser l'approche de la théorie des

perturbations (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous allons donc nous intéresser à

une solution de la forme de Taylor en deuxième ordre seulement en :

(50.365)

où sont bien évidemment dépendants de et devront être déterminés! Pour cela, nous

savons qu'il faut remplacer l'expression précédente dans l'équation différentielle telle que :

(50.366)

Ce qui donne :

(50.367)

et se simplifie en :

(50.368)

où rappelons que :

(50.369)

est l'équation classique obtenue plus haut :

(50.370)

considérons la solution du type :

(50.371)

où D est une constante arbitraire. Or, comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Astronomie

dans le cas de la précession du périhélie :

(50.372)

est au fait une ellipse. Ce qui signifie que toute solution de la forme :

(50.373)

est aussi une ellipse!

Pour l'équation en :

(50.374)

qui se simplifie en :

(50.375)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(50.376)

Il vient :

(50.377)

Pour déterminer , décomposons la relation précédente en trois termes :

(50.378)

Ce qui nous donne immédiatement :

(50.379)

Finalement :

(50.380)

La solution cherchée est finalement :

(50.381)

C'est donc avec :

(50.382)

qu'il faut calculer le déplacement du périhélie (on y arrive...).

Nous voyons relativement vite en observant la relation précédente que le seul terme dont

l'amplitude n'est pas constante est .

Rappelons alors que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(50.383)

Ce qui peut grossièrement s'écrire aussi en première approximation :

(50.384)

d'où :

(50.385)

Nous savons que l'orbite d'ordre zéro est :

(50.386)

L'effet du dernier terme :

(50.387)

est donc d'introduire une petite variation périodique dans la distance radiale. Ce terme n'affecte

pas le déplacement du périhélie. C'est le terme dans :

(50.388)

qui introduit une non-périodicité qui peut être non négligeable dans le cas où est grand.

Le périhélie (point le plus proche du Soleil) se présente donc quand r est minimum

soit maximum. Or,u est maximum quand le terme qui nous intéresse est maximum,

c'est-à-dire :

(50.389)

Nous avons approximativement :

(50.390)

Pour deux périhélies successifs, nous avons un intervalle :

(50.391)

au lieu de . Ainsi, le déplacement pour une révolution est :

(50.392)

où K est donc la constante des aires et M la masse de l'astre central et puisque :

(50.393)

Bref, nous avons au final:

(50.394)

Relation à comparer avec celle que nous avons obtenue dans le chapitre d'Astronomie avec un

traitement newtonien classique:

(50.395)

Nous retrouvons donc à la perfection le facteur 6 qui manquait dans les traitement classique!

Pour Mercure une application numérique donne :

(50.396)

et l'expérience donne .

Pour terminer sur ce sujet, signalons une deuxième écriture fréquente dans la littérature

concernant le résultat obtenu. Effectivement, nous avons démontré dans le chapitre

d'Astronomie que le paramètre focal était donné par:

(50.397)

Il reste donc:

(50.398)

et nous avons démontré aussi dans le chapitre de Géométrique Analytique que:

(50.399)

Il vient donc au final la forme la plus classique:

(50.400)

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