Notes sur les volumes connus, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les volumes connus, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les volumes connus. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le concept de volume, l'étude des polyèdres, la pyramide, le prisme droit.
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Volumes connus.

Il existe plusieurs définitions du concept de volume (surface qui limite un corps). Une définition

due à Euclide et une autre due au domaine de la topologie (voir le chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Un "volume" est ce qui a longueur, largeur et hauteur.

D2. Un "volume" est une variété topologique de dimension 3.

Les surfaces qui limitent un corps peuvent être planes ou courbes:

(26.79)

A gauche, le corps est limité uniquement par des surfaces planes, au milieu par une et une seule

unique surface courbe, et à droite par une surface courbe et deux surfaces planes.

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (surface, volume,

centre de gravité, moment d'inertie...) de volumes plongés dans des géométries euclidiennes.

POLYÈDRES

L'étude des polyèdres (particulièrement les polyèdres platoniciens) est très importante en physique

(pour la cristallographie par exemple) et en mathématique car il permet d'avoir une application

sympathique des groupes finis (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Il convient donc de porter une

lecture relativement attentive à ce qui va suivra.

Par ailleurs, l'étude des polyèdres est aussi un moyen très pédagogique et esthétique pour voir la

mise en oeuvre de plusieurs théorèmes géométriques, de trigonométrie et d'algèbre vectoriel.

Précisons avant toute chose que les différents polyèdres ne seront délibérément pas présentés sur

un pied d'égalité. Ainsi, nous nous concentrerons sur certaines propriétés pour certains et pas

pour d'autres.

Définitions:

D1. Un "polyèdre" est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan. Les

portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces, chaque face, étant

limité par intersections (les arêtes) avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce

polygone sont les arêtes du polyèdre. Nous appelons "sommet" d'un polyèdre tout sommet d'une

quelconque de ses faces.

(26.80)

D2. Un "polygone régulier" est un polygone dont les côtés, et tous les angles sont égaux (cette

définition nous sera utile pour les polyèdres réguliers). Parallélépipède

Définition: Le "parallélépipède" est un volume à six faces parallèles deux à deux (donc il n'est pas

un polyèdre régulier!).

(26.81)

Son volume est simplement donné par la définition même du volume... :

(26.82)

Quand à sa surface, il s'agit simplement de la somme des surfaces des rectangles sans rien de

particulier.

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une plaque (parallélépipède) d'épaisseur e et de

surface transversale Sdont l'axe de rotation est y :

(26.83)

Un élément de volume du rectangle (en gris) est donné par :

(26.84)

et :

(26.85)

et occupons nous maintenant du moment d'inertie de ce rectangle par rapport à

l'axe z (perpendiculaire à x et à ydonc) et disposons les axes de façon à avoir:

(26.86)

Nous avons :

(26.87)

où r est donc dans la plan de x et y.

Avec :

(26.88)

d'où :

(26.89)

Soit le moment d'inertie d'une plaque rectangulaire :

(26.90)

si la plaque est carrée de côté L :

(26.91)

Nous allons montrer qu'il est dès lors possible de calculer le moment d'inertie du triangle

équilatéral et rectangle.

Le moment d'inertie toujours par rapport au même axe mais pour la moitié du carré est donnée

par :

(26.92)

Si le centre de gravité est posé sur le tiers de la médiane partant du centre de gravité du carré et

que nous faisons usage du théorème de Steiner (cf. chapitre de Mécanique Classique), il vient :

(26.93)

Qui est donc le moment d'inertie d'un triangle équilatéral.

En procédant exactement de même pour un triangle rectangle de côtés a, b dont l'axe de rotation

passe par le centre de masse G, il vient :

(26.94) PYRAMIDE

Définition: La "pyramide" est un polyèdre qui a pour base un polygone et pour faces latérales des

triangles réunis en un point appelé "sommet". La pyramide n'est donc pas dans le cas général un

polyèdre régulier!

(26.95)

Considérons une surface S(t) de la section de la pyramide avec le plan d'équation , alors le

volume Vcherché est égal à :

(26.96)

Nous parlons d'équation de plan alors qu'il n'y a pas de repères défini pour l'instant. Au fait, dans

l'intégrale, tvarie entre 0 et h. Cela sous-entend que nous prenons un repère centré en H (le pied

de la hauteur de la pyramide), d'axe de la droite (la hauteur de la pyramide) orientée

de O vers H (du pied de la hauteur vers le sommet). Les deux autres axes sont choisis quelconques

dans le plan de la base de la pyramide.

Il nous faut préciser maintenant ce que vaut S(t) en fonction de t :

Soit S l'aire de la base de la pyramide. La section de la pyramide par le plan d'équation se

déduit par l'homothétie de centre O et de rapport t/h. Donc l'intégrale s'écrit :

(26.97)

Le fait d'avoir pris le carré de t/h provient du fait que chaque terme intérieur de S est le produit de

deux termes (selon le calcul de la surface d'un triangle) chacun de rapport d'homothétie t/h.

Ainsi, nous avons :

(26.98) PRISME DROIT

Définition: Le "prisme droit" est un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux à côtés

parallèles (elles ont la même surface!), les faces latérales étant des parallélogrammes. Donc le

prisme droit n'est pas un polyèdre régulier! Les deux faces parallèles et de même forme sont

appelées les bases du prisme droit.

(26.99)

Pour calculer le volume V d'un prisme droit, nous devons tout simplement multiplier l'aire de sa

base B par sa hauteur h :

(26.100)

Sa base est un polygone, c'est-à-dire qu'elle peut être un triangle, un quadrilatère, ou un

pentagone... Il faut donc savoir calculer ces aires pour calculer le volume du prisme droit.

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