Sciences math - examen 5, Examens de Algorithmes avancés

Télécharge Sciences math - examen 5 et plus Examens au format PDF de Algorithmes avancés sur Docsity uniquement! Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Dijon septembre 1975 \ EXERCICE 1 Soit Z/6Z l’anneau des classes d’entiers relatifs modulo 6 : Z/6Z= {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Résoudre dans cet ensemble le système, dont les inconnues sont x et y : { 3x +2y = 1 3x +5y = 1 EXERCICE 2 Dans le plan complexe, au point M d’affixe z, on fait correspondre le point M ′ d’af- fixe z ′, par la transformation T définie par z ′ = 3+ i p 3 2 z + 1+ i p 3 2 où z représente le nombre complexe conjugué de z et i le complexe de module 1 et d’argument π 2 . Quelle est la nature de la transformation T ? En donner les éléments caractéristiques. PROBLÈME Soit D l’ensemble des fonctions numériques d’une variable réelle, définies et deux fois dérivables sur R. On rappelle que cet ensemble peut être muni des deux lois de composition : f + g : x 7−→ f (x)+ g (x) λ · f : x 7−→λ f (x), où λ est un réel et f , g deux éléments de D. On note ω la fonction nulle qui, à tout x réel, associe 0. Alors (P , +, ·) est un espace vectoriel. Partie A 1. Soit f0 la fonction numérique définie sur R par f0(t) = e−t , e étant la base des logarithmes népériens. Vérifier que f0 est élément de D et justifier l’existence, pour tout x réel, du nombre ∫x 0 te−t dt , que l’on note g0(x). On calculera ce nombre en faisant une intégration par parties. Démontrer que la fonction g0 qui, à tout réel x associe g0(x), est un élément de D. 2. Soit f un élément de D, et x un réel ; justifier l’existence de l’intégrale ∫x 0 f (t)dt . Démontrer que la fonction numérique g , définie sur R, par g (x) = ∫x 0 f (t) dt , est un élément de D. Calculer sa dérivée g ′ à l’aide de f . Partie B