Sciences Math - exercices 1, Exercices de Mathématiques

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Sciences Math - exercices 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, l’équation, l’application de F dans F.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rennes septembre 1975 \

EXERCICE 1

Leplan affine euclidienorienté est rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère le point A de coordonnées (1 ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; 1). Soit S1 la similitude plane directe de centre A, d’angle dont une détermination est 2π

3 et de rapport 2.

Soit S2 la similitude plane directe de centre B, d’angle dont une détermination est π

3

et de rapport 1

2 .

1. Quelle est la nature de T = S2 ◦S1 ?

2. Soit M un point de coordonnées (x ; y), M ′ le transformé deM par T .

Exprimer les coordonnées x′ et y ′ deM ′ en fonction de celles deM .

EXERCICE 2

1. Montrer que l’équation :

7x+11y = 1 (1)

admet des solutions dans Z×Z.

2. Résoudre dans Z/11Z l’équation :

7̇ . x = 1̇ (2)

3. Donner toutes les solutions de l’équation (1).

PROBLÈME

Soit Ω l’ensemble des applications de R dans R trois fois dérivables sur R et E l’en- semble des fonctions f deΩ possédant la propriété :

x ∈R, f ′′′(x)−3 f ′′(x)+3 f ′(x)− f (x)= 0 (1)

1. Montrer que Ω, muni de l’addition des fonctions et de la loi de multiplication des fonctions par un nombre réel, est un espace vectoriel sur R.

Montrer que la fonction f1 définie par :

x ∈R, f1(x)= e x

est élément de E.

Montrer que E est un sous-espace vectoriel deΩ.

2. A tout élément f de E on associe la fonction g deΩ définie par :

x ∈R, g (x)= e−x f (x).

Montrer que g vérifie la propriété : ∀x ∈R, g ′′′(x)= 0.

Réciproquement, montrer qu’à toute fonction g deΩ telle que :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

x ∈R, g ′′′(x)= 0

on peut associer une fonction f de E .

En déduire que :

E = {

f /∀x ∈R, f (x)= (

a+bx+cx2 )

ex , (a, b, c) ∈R3 }

3. On appelle f1, f2, f3 les trois fonctions définies par :

x ∈R, f1(x)= e x , f 2(x)= xex , f 3(x)= x2ex .

Montrer queB = (

f1, f2, f3 )

est une base de E . Etudier les fonctions f1, f2, f3 et tracer dansunmême repère leurs courbes représentatives respectivesC1 ,C2,C3.

4. a. Montrer que si f est un élément quelconque de E , la fonction dérivée de f , f ′, est aussi élément de E .

En déduire que, quel que soit n ∈N⋆ (n entier naturel non nul), la déri- vée d’ordre n de f , que l’on note f (n), est élément de E .

Soit D l’application de E dans E définie par :

f E , D( f )= f

Montrer queD est linéaire. Exprimer les coordonnées de f ′ dans la base :n en fonction de celles de f . En déduire que D est bijective. Déterminer D−1 puis une primitive de f .

λdésignant un réel négatif, calculer l’aireA (λ) dudomaine limité par les courbes C2, C3 et les droites d’équation x = λ et x = 0. Cette aire a-t-elle une limite quand λ tend vers −∞ ?

b. Soit F le plan vectoriel de E , de base B′ = (

f1, f2 )

. Montrer que ∀h F, D(h) ∈ F .

Soit D⋆ l’application de F dans F définie par :

h F, D⋆(h)=D(h)

D⋆ est linéaire. Quelle est la matrice ∆, de D⋆ dans B′.

Calculer ∆2 = ∆×∆, ∆3 =∆2×∆, puis ∆n (n désignera un entier naturel supérieur ou égal à 3).

(On rappelle que, n> 2, ∆n =∆n−1×∆.

Soit h un élément de F de coordonnées (a ; b) dans B′.

Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, la fonction dérivée n-ième de h, h(n), est élément de F et calculer les coordonnées (an ; bn) de h(n) en fonction de a et b.

5. a. α désignant un réel donné, à toute fonction réelle ϕ définie sur R, on fait correspondre la fonction ϕα définie par :

x ∈R, ϕα(x)=ϕ(x+α).

Montrer que si ϕ est élément de E , ϕα est alors aussi élément de E .

À tout nombre réel α, on associe alors l’application de E dans E défi- nie par :

f E , ( f )= .

Montrer que est linéaire.

E étant rapporté à la baseB, exprimer les coordonnées de( f ) en fonc- tion de celles de f .

En déduire que est bijective.

Rennes 2 septembre 1975

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Soit T l’ensemble des applications ( f ) lorsque α décrit R.

Montrer que : ( f )= ( f ) ⇐⇒ α=β.

α et β désignant deux réels quelconques, montrer que :

∈T ;

En déduire que l’application de R dans T qui, à α, fait correspondre est un isomorphisme de (R, +) dans (T , ◦).

On pose T 0α = IdE (IdE désigne l’application identique de E dans E ) et

n> 1, T nα = T n−1 α .

Montrer que : ∀n ∈N, T nα = Tnα.

Calculer dans la base B les coordonnées de T nα ( f ) en fonction de celles de f .

c. Montrer que : ∀h F, (h) ∈ F .

Soit Tα l’application de F dans F définie par :

h F, Tα (h)= (h)

Montrer que est une application linéaire bijective.

On pose T(h)=λn f1+µb f2.

Calculer les coordonnées de h dans la base B′ en fonction de λn et µn .

N.B. : Le candidat pourra considérer comme connue la propriété suivante : L’ensemble des applications de R dans Rmuni des lois + et . est un espace vectoriel sur R.

Rennes 3 septembre 1975

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