Sciences Math - exercices 2, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel premier, le raisonnement par rérurrence.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Rouen \

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe

z = 1+cosϕ− i sinϕ

ϕ désigne un nombre réel variable appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[.

Calculer en fonction deϕ le module et l’argument de z et du nombre z ′ = 1

z lorsqu’il

est défini. (On désigne par z le conjugué de z). Préciser les ensembles (Γ) et (Γ′) des images respectives de z et z ′ construites dans

le plan des complexes rapporté au repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

EXERCICE 2

Soit p un entier naturel premier.

1. Démontrer que si k est un entier naturel tel que 16 k 6 p −1, le nombre Ckp est divisible par p.

En déduire que, quel que soit l’entier n, le nombre (n+1)P np−1 est divisble par p.

2. Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n,

np n (mod p).

(On pourra faire un raisonnement par rérurrence sur n).

Pour quelles valeurs de n a-t-on np−1 ≡ 1 (mod p) ?

PROBLÈME

f est la fonction définie par

f R → R

x 7−→ f (x)= x+3+ 1

2

p 6x2+24x

1. a. Étudier le comportement de la fonction f lorsque la variable devient in- finiment grande, et montrer que la courbe représentative (C) de la fonc- tion admet deux asymptotes dont on déterminera les équations,

b. Étudier les variations de la fonction f . Est-elle dérivable dans tout son ensemble de définition ?

Calculer

lim x→0+

f (x)− f (0) x

, lim x→−4+

f (x)− f (−4) x+4

Interpréter les résultats obtenus sur la courbe représentative (C ).

c. Construire la courbe représentative (C ) de la fonction f , le plan affine

euclidien étant rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Démontrer que la courbe (C ) coupe l’axe des abscisses en un seul point, puis calculer l’abscisse de ce point.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit O′ le point tel que −−−→ OO′ =−2

−→ ı +

−→ .

Écrire l’équation Y = F (X ) de la courbe (C ) rapportée au repère (

O′, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par (C ′) la courbe représentant dans le repère (

O′, −→ ı ,

−→

)

la fonc-

tionG définie par

G(X )= X − 1

2

6x2−24.

Montrer que (C ′) est symétrique de (C ) par rapport au point O′.

Déduire de cette étude, l’ensemble (Γ) des points du plan rapportée au repère (

O′, −→ ı ,

−→

)

dont les coordonnées X et Y sont liées par la relation

X 2−2Y 2+4XY −12= 0.

3. ϕ est l’endomorphisme du plan vectoriel euclidien P , défini par sa matrice

dans la base orthonormée (−→ ı ,

−→ ı

)

M = [

1 2 2 −2

]

a. ϕ est-il un automorphisme du plan vectoriel ?

ϕ est-il involutif ?

b. Étant donné un nombre réel λ, on pose

Eλ = {−→ u ;

−→ u ∈P et ϕ

(−→ u

)

=λ −→ u

}

.

Montrer qu’il existe deux valeurs réelles deλ pour lesquelles Eλ 6= {−→ 0 P

}

.

(Ces valeurs seront notées λ1 et λ2 ; λ1 > 0) Démontrer que Eλ1 et Eλ2 sont deux droites vectorielles orthogonales.

Calculer −→ I ∈Eλ1 et

−→ J ∈Eλ2 tels que

(−→ I ,

−→ J

)

soit une base orthonormée.

4. (X ; Y ) étant les coordonnées d’un point M du plan affine euclidien rapporté

au repère (

O′, −→ ı ,

−→

)

et (

X ′ ; Y ′ )

les coordonnées du même point M dans le

plan rapporté au repère (

O′, −→ I ,

−→ J

)

, exprimer X et Y en fonction de X ′ et Y ′.

Écrire l’équationde la courbe (Γ) de la deuxièmequestion lorsque cette courbe

est rapportée au repère (

O′, −→ I ,

−→ J

)

.

Reconnaître la courbe (Γ).

Rouen 2 juin 1975

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