Sciences Math - exercices 3, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la factorisation du polynôme. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen septembre 1975 \

EXERCICE 1

Calculer ∫ π

2

0

(

sin5 x cosx+cos2 x )

dx.

EXERCICE 2

1. Donner une factorisation du polynôme

x2+ 6̇x− 9̇1

dans l’un ou l’autre des anneaux Z/101Z puis Z/100Z

2. Résoudre l’équation :

x2+ 6̇x− 9̇1= 0 dansZ/101Z]

3. Résoudre l’équation :

x2+ 6̇x− 9̇1= 0 dansZ/100Z

PROBLÈME

Partie A

Dans le plan vectoriel euclidien (P) orienté rapporté à la base orthonormé (−→ ı ,

−→

)

, on considère l’endomorphisme F dont lamatrice dans cette base est :

A = (

2 p 3 −

p 3p

3 −2 p 3

)

.

a. Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du vecteur −→ v ′ = F

(−→ v

)

connaissant

les coordonnées (x ; y) de −→ v .

b. F est·il un automorphisme de (P) ? F est·il involutif ? Expliquer géomé- triquement le résultat obtenu.

c. Étudier l’image par F d’une droite vectorielle de (P).

Montrer que F conserve globalement deux droites vectorielles que l’on déterminera.

Partie B

Soit r la rotation dont l’angle a pour détermination + π

2 .

Soit s la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle de vecteur

directeur {−→ ı

}

.

Soit t la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle engendrée par (−→ ı

−→ ı

)

.

Soit h l’homothétie de rapport 2 et h′ l’homothétie de rapport p 3.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Déterminer par sa matrice l’application linéaire :

A = h′ ◦ ((h s)+ r )

b. Même question pour A ′ = h′ ◦ s ◦ (h+ t). Comparer A , A ′, F .

Partie C

On considère le plan affine (P ) associé à (P), rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

M est le point de (P ) tel que −−−→ OM =

−→ v .

M ′ est le point de (P ) tel que −−−→ OM ′ =

−→ v ′ .

Les vecteurs v et v ′ ont été définis dans A 1.

a. On appelle f l’application de (P ) dans (P ) telle que : f (M)=M ′. Si x et y sont les coordonnées de M , quelles sont les coordonnées de M ′ ?

f est-elle bijective ? Existe-t-il des points invariants par f ?

Former une équation de la transformée par f d’une droiteD d’équation ux+ vy +w = 0, (u, v, w) ∈R3, (u ; v) 6= (0 ; 0). Existe-t-il des droites globalement invariantes ? Si oui, quelles sont leurs équations ?

b. On appelle z l’affixe de M et z ′ = g (z) l’affixe de M ′ dans le plan com- plexe de repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer qu’il existe entre z, z (conjugué de z) et z ′ une relation de la forme z ′ = az+bz a et b sont des nombres complexes que l’on pré- cisera.

Rouen 2 septembre 1975

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