Sciences Math - exercices 4, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur l’application du plan. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative C dans le repère, l'équation de la courbe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Strasbourg \

EXERCICE 1

Dans un plan affine rapporté au repère (

A, −→ u ,

−→ v

)

, soit B et C les points de coordon-

nées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1). Soit t un nombre réel non nul. On note f , g , h les homothéties de rapport t et de centres respectifs A, B, C. À partir d’un point M quelconque du plan, on introduit les points

M1 = f (M), M2 = g (M1) , M3 = h (M2) , M4 = f (M3)

1. Exprimer le vecteur −−−→ AM4 en fonction de t et des vecteurs

−−→ AM ,

−→ u ,

−→ v .

2. Soit ϕ1 l’application du plan dans lui-même définie par :

ϕ1(M)= M4 pour tout point M .

Déterminer suivant les valeurs de t l’ensemble des points invariants par ϕ1 et préciser la nature correspondante de ϕ1.

EXERCICE 2

1. x et y étant deux entiers relatifs, déterminer tous les restes possibles de la di- vision euclidienne par 4 du nombre x2−3y2

2. Existe-t-il trois entiers relatifs x, y, z tels que :

x2−3y2+4z = 3 ?

PROBLÈME

Soit E un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

.

1. Au point M d’affixe z = x + iy (x ; y) ∈ R2) on fait correspondre le point M

d’affixe

z ′ = 4−

(

z + z )

i

1− i+ 12 (

z z )

z désigne le conjugue de z. On définit ainsi une application T de E dans E.

a. Calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point M ′ en fonction des coordon- nées (x ; y) du point M .

b. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que z ′ soit réel. Mêmes questions pour z ′ imaginaire pur.

c. Écrire une équation de l’ensemble H des points M tels que M ′ appar- tienne à la droite d’équation x = 1.

2. a. Étudier la fonction f de R dans R définie par :

f (x)= 1− x + √

x2+3.

Tracer sa courbe représentative C dans le repère (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

.

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Déduire de l’étude précédente que f admet une fonction réciproque g , dont on précisera l’ensemble de définition D.

Montrer que, pour tout x de D, g (x)= 3− (x −1)2

2(x −1) .

Tracer la courbe représentative C1 de g dans le même repère.

3. a. Calculer ∫1+

p 3

2 g (x)dx.

b. En déduire ∫1

0 f (x)dx, puis

∫1

0

x2+3dx

4. Etablir une équation de la courbe C ′ symétrique de C par rapport au point S de coordonnées (0 ; 1), puis une équation de Γ=C C ′. Comparer Γ et H .

5. a. Soit T l’application affine du plan E dans lui-même qui au point M de coordonnées (x ; y) fait correspondre le point M1 de coordonnées (

x1 ; y1 )

tel que :

{

x1 = x

2 y >1 = x + y

Pour tout entier n > 1, on pose Mn+1 =T (Mn).

Calculer les coordonnées (

xn ; yn )

de Mn en fonction de x, y et n.

Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels xn et yn ont une li- mite nulle lorsque n tend vers +∞.

b. Quel est l’ensemble des points invariants par T ?

Soit M un point non invariant par T . La droite définie par le bipoint (M , M1) coupe Oy en P .

Montrer qu’il existe un réel non nul k, indépendant de M , tel que

−−−→ P M1 = k

−−→ P M .

et que le vecteur −−−−→ M M1 est colinéaire à un vecteur fixe.

c. Quelle est une équation de Γ′, image de Γ par T ?

En déduire que Γ′ est une conique dont on précisera les sommets.

Strasbourg 2 juin 1975

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