Sciences Math - exercices 6, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur le plan complexe rapporté au repère. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre conjugué de z, les matrices des endomorphismes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Togo \

EXERCICE 1

Dans le plan complexe rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé, on considère

l’application S qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z

défini par :

z ′ = (

1+ i p 3 )

z+ i

(où z désigne le nombre conjugué de z).

Démontrer que S est une similitude inverse dont on précisera le rapport k, le centre

C et l’axe D.

EXERCICE 2

1. Déterminer une primitive de la fonction numérique de variable réelle f défi- nie par :

f (x)= xLog 1

x

où Log désigne la fonction logarithme népérien.

2. On considère la suite de réels (un )nN⋆ définie par :

un = ∫1

1 n

f (x)dx

pour tout entier naturel non nul n.

Déterminer un pour tout entier naturel non nul n, et la limite de un quand n

tend vers +∞.

PROBLÈME

Soit P le plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée directe (−→ ı ,

−→

)

.

Soit f et g les endomorphismes de P ayant pour matrices respectives dans cette

base :

M f = A =

(

1 1

0 1

)

et Mg =B =

(

1 0

1 1

)

Partie A

1. Donner dans la base (−→ ı ,

−→

)

les matrices des endomorphismes f2, f3 et fn

pour tout entier naturel non nul n.

2. Démontrer que f est bijectif et déterminer la matrice de f −1 dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

3. Reprendre les questions précédentes avec g .

4. Déterminer les couples d’entiers naturels non nuls (p ; q) tels que l’endomor- phisme f p + g q ne soit pas bijectif. Donner, pour l’un des couples trouvés, le noyau et l’image de f p + g q .

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

Soit E l’ensemble des endomorphismes de P de la forme a f +bg (a et b réels).

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace (L (P), +, .) des en- domorphismes de P.

Donner une base de E.

2. Démontrer que tout endomorphisme non nul de E est bijectif.

3. Reconnaître les rotations vectorielles de E.

4. Y a-t-il des symétries vectorielles dans E ? Justifier la réponse.

5. Donner la matrice de h = f + g dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

Donner les matrices de h2, de h3 et en déduire par récurrence celle de hn ,

pour tout entier naturel non nul n.

Partie C

Soit F l’ensemble des matrices M obtenues comme produit des matrices A ou B, A

et B étant définies au début de ce problème.

(Exemple : M = AABBBAB est un élément de F ). UnematriceM appartient donc à F si et seulement siM peut s’écrire sous la forme :

M =C1C2 · · ·Ci · · ·Cn

avec n élément deN⋆ et Ci = A ouCi =B pour 16 i 6 n.

Soit M =

(

a c

b d

)

un élément de F .

On admettra que a, b, c, d sont des entiers naturels.

1. Calculer le déterminant deM .

Démontrer que si a,b,c et d sont tous nonnuls, a et b d’une part, c et d d’autre

part sont premiers entre eux.

Application :

(

13 14

10 11

)

est-elle élément de F ?

2. Démontrer, par récurrence sur le nombre de facteurs deM , que : – siC1 = A, alors M est telle que a> b et c > d – siC1 =B, alorsM est telle que a6 b et c 6 d

Application : I =

(

1 0

0 1

)

est-elle élément de F ?

3. Déduire de la question précédente que la décomposition de M en produit de Ci est unique.

Application : Soit M =

(

7 2

3 1

)

.

Montrer en décomposant M en produit de Ci que M est élément de F .

Togo 2 juin 1975

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