Sciences Math - exercices 8, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur les suites réelles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des complexes, l’ensemble des applications T.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1975 \

EXERCICE 1

Étant donné un réelα, on considère les suites réelles (un )n∈N et (vn)n∈N définies par : 

u0 ∈ R

un+1 = 2

5 un +3, ∀n ∈N

vn = un +α

1. Calculer vn+1 en fonction de vn etα. Comment choisir α pour que vn soit une sui te géométrique ?

2. Calculer un en fonction de u0 et n. En déduire la limite de un quand n tend vers +∞.

EXERCICE 2

Résoudre, dans le corps des complexes, l’équation :

(1+cos2θ)z2− (2sin2θ)z+2= 0

θ est un nombre réel donné tel que 06 θ < 2π. Déterminer, suivant les valeurs de θ, le module et l’argument des racines de cette équation, quand elles existent.

PROBLÈME

P est le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On appelle T l’application affine de P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe M ′ = T (M) de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

avec :

{

x′ = ax+cy

y ′ = bx+dy

a, b, c, d sont quatre entiers relatifs vérifiant la relation (R) : ad bc = 1.

T est l’ensemble des applicationsT obtenues endonnant aux entiers relatifs a,b,c,d toutes les valeurs vérifiant (R).

Partie A

1. Montrer queT ,muni de la loi de composition des applications, est un groupe.

2. Quelle condition doivent vérifier a et d pour que T admette plus d’un point invariant ?

Préciser alors l’ensemble des points invariants par T (on considèrera les deux cas a = 1, a 6= 1).

Partie B

Soit A le point de coordonnées (1 ; 0), A′ le point de coordonnées (3 ; 4). On considère le sous-ensemble F de T des applications T telles que T (A) = A′.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer queF est l’ensemble des applications, notées fk (k ∈Z), associant au point M(x ; y) le point M

(

x′ ; y ′ )

tel que :

{

x′ = 3x+ (2+3k)y y ′ = 4x+ (3+4k)y

2. Définir l’application réciproque de fk . Appartient-elle à F ?

3. Déterminer l’entier relatif k, de telle sorte qu’il existe une droite D de points invariants par fk . PréciserD.

4. On donne à k la valeur −1 et on note f = f−1.

a. M étant un point du plan d’image M ′ = f (M) distincte de M , que peut-

on dire de la direction définie par −−−−→ MM ′ . Quelle est la transformée par f

d’une droite de vecteur directeur −→ ? En déduire une construction géo-

métrique de l’image M ′ d’un point quelconque M du plan.

b. On considère la fonction numérique ϕ de la variable réelle x :

x 7−→ϕ(x)= 7

2

(

x−2+ 1

x

)

.

Étudier les variations de ϕ et construire sa courbe représentative (H)

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Former l’équation de la courbe (

H ′ )

transformée de (H) par f . Montrer que

(

H ′ )

est une conique dont on précisera la nature. Déterminer ses éléments remarquables et la construire ; vérifier que

(

H ′ )

passe par A′ et déterminer la tangente en ce point.

(Les deux courbes pourront être dessinées sur deux figures distinctes).

Toulouse 2 septembre 1975

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