Sciences Math - exercices 9, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur les trois nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la symétrie vectorielle par rapport à la droite vectorielle, la fonction numérique d’une variable réelle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Vietnam septembre 1975 \

EXERCICE 1

1. Déterminer les trois nombres réels a, b, c tels que l’on ait, quel que soit le réel x :

8x4+6x2+2= (

2x2+ x+1 ) (

ax2+bx+c )

2. Endéduire, qu’enbaseneuf, 80602 (neuf)

est divisible par 211 (neuf)

et écrire, dans cette base, le quotient du premier nombre par le second.

EXERCICE 2

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, rapporté à une base

orthonormée directe (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On désigne par :

R1 : la rotation vectorielle dont l’axe est défini et orienté par −→ ı et dont une détermi-

nation en radian de l’angle est − π

2 .

R2 : la rotation vectorielle dont l’axe est défini et orienté par −→ et dont une détermi-

nation en radian de l’angle est π

2 .

S : la symétrie vectorielle par rapport à la droite vectorielle déterminée par −→ k .

1. Nature de T = S R2 ◦R1

2. Soit −→ v E ; exprimer les coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

du vecteur T (−→ v )

en fonc-

tion des coordonnées (x ; y ; z) de −→ v .

3. Déterminer les vecteurs invariants de T .

PROBLÈME

N. B. : Les questions 2.,3.,4.,5. sont indépendantes

On considère la fonction numérique d’une variable réelle f telle que

f (x)= x2−2x

x2− x+2

1. Étudier cette fonction. Onmontrera que la fonction dérivée première s’annule pour les valeurs (−2−2

p 2) et (−2+2

p 2).

Construire la courbe représentative (C) de f dans un plan P muni d’un repère

orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

. On prendra pour unité : 2 cm sur l’axe des abscisses et

4 cm sur l’axe des ordonnées.

Placer les points d’intersection de (C ) avec les axes, avec l’asymptote et les points correspondant aux extrema de f . On donnera les coordonnées de ces

points au 1

100 près par défaut.

2. Soit (D) la droite d’équation y = kx. Étudier le nombredepoints d’intersection de (D) et (C ).

Donner les équations des tangentes à (C ) issues de O et les coordonnées des points de contact de ces tangentes avec (C ).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Donner, suivant les valeurs du paramètre m, le nombre de points d’intersec- tion de (C ) avec la droite (D) d’équation y =m.

Quand (D) coupe (C ) en deux points M etM ′, déterminer les coordonnées du milieu I de MM ′. Déterminer par son équation cartésienne l’ensemble des points I , lorsquem décrit R. Courbe représentative.

4. Calculer la dérivée seconde de f et les racines de l’équation f ′′(x)= 0.

Montrer que les trois points de (C ) qui ont pour abscisses ces racines sont alignés.

5. Dans le plan affine euclidien P muni du repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère le

mouvement du point M de coordonnées (x ; y) défini par l’application de [−1 ; +∞[ dans P telle que :

x(t) = 2(t −1)

t +3

y(t) = −4(t −1)

t2+7

a. Quelle est la trajectoire du point M ? (On précisera les limites de cette trajectoire pour t ∈ [−1 ; +∞[.

b. Donner les composantes du vecteur vitesse deM .

Etudier la limite du vecteur vitesse quand t tend vers +∞.

Vietnam 2 septembre 1975

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