Sciences mathématique - Contrôle 12, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 12, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (397.6 KB)
8 pages
189Numéro de visites
Description
Sciences mathématique - Contrôle 12 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace muni d’un repère orthonormal, la représentation paramétrique de la droite.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Terminale S

Terminale S juin 2011

Liban

1. Exercice 1 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on donne les trois points :

A(1 ; 2 ; –1),B(–3 ; –2 ; 3) et C(0 ; –2 ; –3).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur  2; 1 ;1n  est un vecteur normal au plan (ABC).

2. Soit (P) le plan dont une équation cartésienne est x + y – z + 2 = 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, –1) et (C, 2).

a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; –5).

b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que MA MB 2MC 12   est une sphère dont on

déterminera les éléments caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P) et de la sphère (S).

Correction

1. a. On a ( 4 ; 4 ; 4)AB   et ( 1 ; 4 ; 2)AC    ; il est clair alors que ( 4 ; 4 ; 4)AB   et ( 1 ; 4 ; 2)AC    ne sont pas

colinéaires ; les points A, B et C ne sont donc pas alignés.

b.      2 4 1 4 1 4. 0AB ABn n            ;        2 1 1 4 1 2. 0AC ACn n             .

Donc  2; 1 ;1n  est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC), c’est donc un vecteur normal au plan

(ABC).

2. Les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires :  2; 1 ;1n  est un vecteur normal au plan (ABC) ;  ' 1;1 ; 1n  est

un vecteur normal au plan (P) ;    ' 2 1 1 1. 1 1 0 'nnn n          donc (ABC)  (P).

3. a. G a pour coordonnées :

2 1 3 0 2

2 2

2 2 2 4 0

2 2

2 1 3 6 5

2 2

A B C

A B C

A B C

x x x x

y y y y

z z z z

      

    

   

        

.

b. (2 ; 2 ; 2)CG  vecteur directeur de (CG) et  ' 1;1 ; 1n  vecteur normal à (P) ; puisque 2 'CG n , ces deux

vecteurs sont colinéaires et en conséquence, (CG)  (P).

c.          

0 1

; ; ' 2 1 2

3 1 3

x k x k

M x y z CG CM kn y k y k

z k z k

      

                     

.

d.      

    12 3 2 0

2 1 ; ;

3 32

232 0

kk k kx k

y k xx k H x y z CG P

z k yy k

zz kx y z

                    

                             

;

donc on a H(–1 ; –3 ; –2) .

4. G est le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, –1) et (C, 2),   MA MB 2MC 1 1 2 2MG MG      

d’où MA MB 2MC 12 2MG 12 2 12 6MG GM          .

L’ensemble (S) des points Mde l’espace tels que MA MB 2MC 12   est donc la sphère de centre G et de rayon

6.

5. Distance de G au plan (P) :     

  22 2

2 0 5 22 9 ; 3 3

3 31 1 1

G G Gx y z d G P

         

  

; or 3 3 6 , rayon de

(S), donc (P) et (S) se coupent suivant un cercle (C).

Le centre de (C) est le projeté orthogonal de G sur le plan (P) qui est H (cf. 3.b. et c.) ; le rayon r de (C) est tel que

  2

2 2 2 2 26 3 6 3 3 3CH r R r r          .

2. Exercice 2 (3 points)

Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.

Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Il sera attribué 0,5 point si la réponse est exacte, 0 sinon.

1. Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d’ordinateur au même prix et de marques M1 et M2. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70 % des acheteurs ont choisi l’ordinateur M1 et, parmi eux, 60 % ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20 % des clients ayant acheté un ordinateur M2 l’ont choisi de couleur blanche.

On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard.

a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est :

Réponse A : 3

5 Réponse B :

4

5 Réponse C :

3

50 Réponse D :

6

25

b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :

Réponse A : 21

50 Réponse B :

33

50 Réponse C :

3

5 Réponse D :

12

25

c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2 est :

Réponse A : 4

11 Réponse B :

6

25 Réponse C :

7

11 Réponse D :

33

50

2. Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher.

L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :

Réponse A : 11

81 Réponse B :

2

7 Réponse C :

5

84 Réponse D :

4

63

b. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :

Réponse A : 2

7 Réponse B :

1

7 Réponse C :

1

21 Réponse D :

79

84

c. On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l’urne. Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supérieure ou égale à 0,99 est :

Réponse A : 76 Réponse B : 71 Réponse C : 95 Réponse D : 94

Correction

1. Représentation des données à l’aide :

- D’un tableau à double entrée

M1

N

B

N

M2

B

0,6

0,8

0,2

0,4 0,7

0,3

M1 M2 Total

Noir 42% 24% 66%

Blanc 28% 6% 34%

Total 70% 30% 100%

- D’un arbre pondéré :

a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est :

 2 6

0,24 25

P M N    réponse D

b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté

un ordinateur de couleur noire est :   33

0,66 50

P N  

 réponse B

c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire.

La probabilité qu’il soit de marque M2 est :  2 24 4

66 11 NP M   ou  

 

  2

2

0,24 4

0,66 11 N

P M N P M

P N

     réponse

A

2. a. Situation d ‘équiprobabilité avec 3

84 9

   

  cas possibles et

4 3 4 1 5

3 3

          

    cas favorables d’où :

5

84 p

 réponse A

b. Cette fois, 4 2 3

4 2 3 24 1 1 1

                

      cas favorables d’où :

24 2

84 7 p    réponse A

c. E : « obtenir boules jaunes » : 4

4 3

   

  cas favorables d’où :  

4 1

84 21 p E   ;

F : « ne pas obtenir trois boules jaunes lors de n tirages » :

         20

1 21

n n n

p F P E E E P E p E  

           

;

G : « obtenir au moins une fois trois boules jaunes lors de n tirages » :     20

1 1 21

n

G F p G p F  

         

.

Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement G : « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supérieure ou égale à 0,99 est :

  ln 0,0120 20 20

0,99 1 0,99 0,01 ln 0,01 ln 95 2021 21 21

ln 21

n n

p G n n n      

                      

 réponse A

3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’,

     arg ' arg arg 'z z z z   à 2 près.

Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’, on a :    arg arg arg ' '

z z z

z

    

  à 2

près.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ; , )u v , on considère les points A et B d’affixes

respectives : zA = 1 – i et 2 3Bz i   .

1. Déterminer le module et un argument de zA.

2. a. Écrire B

A

z

z sous forme algébrique.

b. Montrer que  B 3 A

1 3 iz

e z

  .

c. En déduire la forme exponentielle de zB.

3. On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle 6

  .

a. Déterminer l’affixe du point B1.

b. En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport à l’axe (O ; )u .

Soit Mun point du plan. On note M1 l’image du point Mpar la rotation r et M’ le symétrique du point M1 par

rapport à l’axe (O ; )u .

On désigne par (E) l’ensemble des points Mdu plan tels que M’ = M.

a. Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

b. Soit Mun point distinct du point O.

Son affixe z est égale à ie où  est un réel strictement positif et  un nombre réel.

Montrer que l’affixe z’ du point M’ est égale à 6 i

e

 

   

  puis déterminer l’ensemble des valeurs du réel  telles que

Mappartienne à l’ensemble (E).

c. Déterminer l’ensemble (E).

Correction

Partie A

   

          arg ' arg arg '

1 1 1 arg 1 arg arg arg arg arg arg 1 arg 0 arg arg

zz z z

z z z z z z

z z z z 

                          

       

       

arg ' arg arg ' 1 arg arg

1 1 arg arg arg arg arg arg '

' ' 'zz z z z

z

z z z z z

z z z     

 

                

      à 2 près..

Partie B

1. Le module et un argument de zA : 44 2 2

1 2 2 cos sin 2 2 2 4 4

i

z i i i e

         

                      donc :

4 2z  et  4arg 4

z

  .

2. a.    

 

    22

2 3 1 1 3 3 32 3 1 3 3 3

1 2 2 21 1

B

A

i i iz i i

z i

             

   .

b.      3 1 3 1 3 3 31 3 1 3 cos sin 1 3 3 3 2 2 2 2

i B

A

z e i i i

z

       

                 .

c.          3 43 3 3 4 121 3 1 3 1 3 2 2 6 2 6 ii i i i i

B B A

A

z e z e z e e e e

z

         

              .

3. a. r a pour écriture complexe  6 60 0' ' i i

z z e z z z e z

   

     d’où

     61 26 1 11 22 6 2 6 ii i i

B BB e er B z e z e

     

      .

b. 1B B

z z donc B1 est bien le symétrique du point B par rapport à l’axe  ;O u .

4. a.  1O r O O  et    1'O s O s O O   donc O  (E) ;  1B r B et  1'B s B B  (d’après 3.b.), B  (E).

b.   61 1 i

M r M z e z

 

   (cf. 3.a.) et  1 1' 'M s M z z   , d’où

66 6 6 6 1'

ii i i i i iz z e z e z e e e e e

        

    

            .

L’ensemble des valeurs du réel  telles que M appartienne à l’ensemble (E) :

 

 

   6

''' ' 2

' ' 122

6

i

i ie

i

e

M E M M ez z e

 

     

  

   

  

   

 



  



 

        

 

 .

c. Si z = 0, M=O ; sinon

    11

12 12 ou avec i i

M z E z e z e

 

   

     ;

(E) est donc la droite (OB).

4. Exercice 3 (5 points, spécialistes)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct.

Pré requis : l’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z’ = az +b a et b sont deux nombres

complexes tels que 0a  .

Démontrer que si A, B, A’ et B’ sont quatre points du plan tels que A B et A' B' , alors il existe une unique

similitude directe transformant A en A’ et B en B’.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que    AB; AC 2 2

  . On note D le symétrique de A par

rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On appelle Ω le centre de la similitude s.

a. En utilisant la relation DC ΩC ΩD  , démontrer que 2 2DC ΩD .

b. En déduire la nature du triangle .

3. On pose s s  .

a. Quelle est la nature de la transformation  .? Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer l’image du point D par la transformation  .

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle.

5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (A ; , )u v , choisi de

manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

a. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est :  ' 1 2z i z i    où z et z’ désignent respectivement

les affixes d’un point Met de son image M’ par s.

b. On note x et x’, y et y’ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z’.

Démontrer que ' 2

' 1

x x y

y x y

      

.

c. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des points Mdu plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels

que AM'.AJ 0 , M’ désignant l’image du point Mpar s ?

Correction

5. Exercice 4 (7 points)

Soit f la fonction définie sur  0 ;   par   xf x x e  . On note (C) la courbe représentative de f dans un repère

orthonormal ( ; , )O i j .

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction f sur  0 ;   .

2. Déterminer la limite de f en  .

3. Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.

Partie B

On considère la suite   1n n

u

à termes positifs définie par : u1 = 0 et, pour tout entier naturel n non nul,

 1 un

n n nu f u u e

    .

1. Démontrer que, pour tout réel x positif,  ln 1 x x  . On pourra étudier la fonction g définie sur  0 ;   par

   ln 1g x x x   .

2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,     1

ln 1 lnn n n

   .

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,      1

ln lnf n n n

  .

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,  ln nn u .

5. En déduire la limite de la suite   1n n

u

.

Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 1 1 1

1 ... 2 3 1

nu n

     

.

6. a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : 1

1 1k

k

dx k x   .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :  1 ln 1nu n   .

7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que    ln 1 ln 1nn u n    .

Démontrer que la suite  

1 ln

n

n

u

n

      

converge vers 1.

Correction

Partie A

1. f est dérivable sur  0 ;   et    ' 1 1x xf x e e      ;  ' 0 1 0 1 0 0x xf x e e x x           ;

La fonction f est donc strictement croissante sur  0 ;   .

2. La limite de f en  : lim x

x 

  et lim lim 0x X x X

e e

    d’où, par somme,  lim

x f x

   .

3.  lim lim 0x x x

f x x e

     donc (D) est asymptote oblique à (C) ;   0xf x x e   donc (D) est au-dessous de

(C).

Partie B

1.   1

' 1 0 1 1

x g x

x x    

  ; g est croissante sur  0 ;   donc

       0 ln 1 0 ln 1g x g x x x x        (pour x ≥ 0).

2. 1

0 n  ,        

a> 0 ln ln ln si

b> 0

1 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln

a a b

b

n n n n n

n n n n n n

   

                  

    .

3.             

 ln ln

1 1 ln ln ln ln

nx

n f x x e f n n e n n

ne

         .

4. Appelons Pn la propriété : «  ln nn u » ;

Initialisation : ln 1 0 et 1 0u  donc on a bien :   0ln 0 u , soit P1 est vraie (1)

Hérédité : Supposons que, pour un n donné, Pn soit vraie, à savoir :  ln nn u ; f étant croissante sur  0 ;   , on

en déduit que         1ln lnn nf n f u f n u    ;        1

ln ln ln 1f n n n n

    d(après 3. et 2, d’où il

résulte   1ln 1 nn u   . Ainsi la propriété Pn+1 est vraie.

5.  ln nn u ; or lim ln n

n 

  donc lim n n

u 

  .

6. a. La fonction 1

x x

est décroissante sur  0 ;   donc pour 1  xk, on a : 1 1 1

1k x k  

 ; d’après l’inégalité de

la moyenne, on en déduit que :

      1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

k k k

k k k

k k dx k k dx dx k x k k x k k x  

                 .

b. D’après le résultat précédent appliqué successivement à k = 2, k = 3, .., k = n – 1, il vient :

2

1

1 1

2 dx

x   ,

3

2

1 1

3 dx

x   , …,

1

2

1 1

1

n

n

dx n x

   .

Puis en ajoutant membre à membre ces inégalités :

1 12 3 1

1 2 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 1

n nn k

n k k k

dx dx dx dx n x x x k x

 

   

               .

Grâce à la relation de Chasles :

11 1

1 1 2

1 1 1 1 1 1

2 3

nn n

k

dx dx n x k x

 

       ;

    1

1

1 1

1 ln ln 1

n n

dx x n x

 

   d’où     1

2

1 1 1 1 ln 1 ln 1

2 3 1

n

k

n n n k

          .

Comme

1

2

1 1 1 1 1 ... 1

2 3 1

n

n n

k

u u n k

          , on en déduit que :  1 ln 1nu n   .

7. La suite  

2 ln

n

n

u

n

      

converge vers 1 :      

 

 ln 0 car 1

1 ln 1 ln 1 ln 1 1

ln ln

n n

n n

nu n u n

n n 

         ;

 

   

 

   

1 1 1 1 ln 1 1 ln ln 1 1 ln 1

1 ln 1 1

ln ln ln ln

n n n n n n

n n n n

                           

    ;

1 lim ln 1 0

n n

    

  et lim ln

n n

   ,

 

1 1 ln 1

lim 0 lnn

n

n

      

 d’où  

 

1 ln 1 lim 1

lnn

n

n

   ;

Donc, d’après le théorème des gendarmes, lim 1 ln

n

n

u

n  .

Remarque : On dit que la suite  nu est équivalente à la suite  ln n .

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome