Sciences mathématique - Contrôle 13, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 13, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices pour non spécialistes, correction.
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Terminale S

Terminale S juin 2011

Polynésie

1. Exercice 1 (5 points)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Soient A le point d’affixe 2 − 5i et B le point d’affixe 7 − 3i.

Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (C) l’ensemble des points Md’affixe z telle que 2z i z i   .

Proposition 2 : (C) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit 3 3z i  .

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si 2

 est un argument de z alors 1i z z   .

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors 2 2

1 z

z  est un nombre réel.

Correction

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.

On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ;

• s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;

• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul :

• Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ;

pn la probabilité de l’évènement Gn·

On a donc p1 = 0,1.

1. Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 1 1 3

5 5 n np p   .

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, 3 13 1

4 4 5

n

np  

     

.

6. Déterminer la limite de la suite  np quand n tend vers  .

7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 7 3

10 4

np   ?

Correction

3. Exercice 3 (5 points, spécialistes)

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors  1 1 modpa p  .

On considère la suite  nu d’entiers naturels définie par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, 1 10 21n nu u   .

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 13 10 7nnu   .

b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un.

3. Montrer que u2 est un nombre premier.

On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,    3 4 1 mod 11 n

nu    .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. a. Démontrer l’égalité :  1610 1 17 .

b. En déduire que, pour tout entier naturel k, 16 8ku  est divisible par 17.

Correction

4. Exercice 3 (5 points)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

• Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. Pour tous réels  et  ,

        b b b

a a a

u x v x dx u x dx v x dx        .

• Si u désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et U une primitive de u sur [a ; b], alors

        b b

aa

u x dx U x U b U a     .

En utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b], démontrer la formule d’intégration par parties.

Partie B

On considère la fonction f définie sur  0 ;   par   2 lnf x x x .

La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal est donnée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Étudier les variations de f sur  0 ;   .

2. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer qu’il existe une tangente unique à la courbe (C) passant par O. Préciser une équation de cette tangente.

3. On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe (Ox) de la région plane délimitée par la courbe (C),

l’axe (Oy) et les droites d’équations 1

x e  et x = 1. On note V une mesure, exprimée en unités de volume, du volume

de ce solide et on admet que :   1

2

1/ e

V f x dx    .

a. Montrer qu’une primitive de la fonction 4 lnx x xsur  0 ;   est la fonction   5

5 ln 1 25

x x x  .

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que : 5

37 2

125 V

e

     

  .

Correction

5. Exercice 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-contre.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal

 D ; DA, DC, DH .

On note K le barycentre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées 2 2 2

; ; 3 3 3

     

.

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

Soit Mun point du segment [HG].

On note m = HM(m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

1. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du tétraèdre EMFD, en unités de

volume, est égal à 1

6 .

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est  1 0m x y mz     .

3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1], 2

1

2 2 2 md

m m

  .

b. Déterminer la position de Msur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Correction

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