Sciences mathématique - Contrôle 14, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 14, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La fonction, Calcul d’une intégrale, Le plan.
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Terminale S

Terminale S septembre 2011

Antilles - Guyane

1. Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par :   ln 1f x x x  .

Partie A : Étude d’une fonction

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  .

b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit f  la fonction dérivée de la fonction f. Calculer  f x pour tout réel x de  0 ;  .

En déduire le tableau de variations de la fonction f sur  0 ;  .

3. Montrer que l’équation   0f x  admet une

unique solution dans  0 ;  . On note  cette

solution. Déterminer un encadrement de  à la

précision 10−2.

4. Déterminer le signe de  f x lorsque x

appartient à  0 ;  .

5. Montrer que 1

ln   .

Partie B : Calcul d’une intégrale

On donne ci-contre la courbe C, représentation graphique de la fonction f dans un repère

orthonormé. On considère l’intégrale suivante :

  4

I f x dx

  .

1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

l’intégrale 4

lnJ x xdx

  .

3. Montrer l’égalité : 2 1 1

16 ln 2 8 4 2

I      .

En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près.

2. Exercice 2 (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 4 cm.

Partie A

On note P le point d’affixe 1 3

2 2 p i   , Q le point d’affixe

1 3

2 2 q i   et K le point d’affixe –1.

1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle  de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensemble Ddes points M d’affixe z tels que 1z z  . Représenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensemble Det du cercle  .

Partie B

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

On suppose que l’origine O du repère ( ; , )O u v est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du

triangle ABC.

1. a. Montrer que a b c  . En déduire que 1 b c

a a   .

b. Montrer que a +b +c = 0.

c. Montrer que 1 1 b b

a a    .

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

p a  ou

b q

a  .

2. Dans cette question, on admet que b

p a  et

b q

a  .

a. Montrer que 3 1

1

iq e

p

  

 .

b. Montrer que 1

1

q c a

p b a

  

  .

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne.

Partie A

Pour un premier jeu :

* si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2

5 .

* si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4

5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènement Gn.

L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul,

1

1 1

5 5 n np p   .

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose 1

4 n nu p  .

a. Montrer que   *n n

u

est une suite géométrique de raison 1

5

et de premier terme u1 à préciser.

b. Donner une expression de nu en fonction de n puis de np en

fonction de n.

c. Déterminer la limite de pn.

Partie B

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1

4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10–2 près.

c. Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €.

a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 €. Le résultat sera arrondi à 10–5 près.

Gn

Gn

Gn

nG

pn

….

…. 1–pn

…. 1nG

1nG ….

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A (–1 ; 2 ; 1), B (1 ; –6 ; –1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur  1 ; 1 ; 3n   est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit Ple plan d’équation : 4 0x y z    .

a. Montrer que les plans (ABC) et Psont sécants.

b. Soit Dla droite intersection des plans Pet (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.

3. On considère la sphère Sde centre  (3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; –1 ; 1).

On admet que la droite Da pour représentation paramétrique

1

3 2 ,

x t

y t t

z t

      

 

.

a. Montrer que le point I appartient à la droite D.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droite Dcoupe la sphère Sen un deuxième point.

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère l’ensemble Pdes points M(x ; y ; z) de l’espace tels que : 2 2z x y  .

Les trois questions sont indépendantes.

1. a. Montrer que l’intersection de l’ensemble Pet du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble Pet du plan d’équation y = 1.

2. On considère la sphère Sde centre O et de rayon 6 .

a. Donner une équation de la sphère S.

b. Montrer que l’intersection de la sphère Set de l’ensemble Pest un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P, dont les coordonnées sont des

entiers relatifs, appartenant au plan d’équation –3x + 2y = 1 et vérifiant 25z  .

a. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) : –3x + 2y = 1.

b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de

l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant : –3x + 2y = 1 et 25z  .

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