Sciences mathématique - Contrôle 15, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 15, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 15 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la valeur, le tableau de variation.
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Terminale S

Terminale S septembre 2011

France & La Réunion

1. Exercice 1 (5 points)

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à 0,12.

Tous les résultats seront arrondis à 10–3.

Partie A

Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.

On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ?

2. Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ?

Partie B

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui

suit une loi exponentielle de paramètre  , où  est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout réel positif t,   0

x t

p Y t dxe     .

Dans les questions 1, 2, 3,les résultats seront arrondis à 10–3.

1. Exprimer  1p Y  en fonction de  . En déduire la valeur de  .

Pour la suite de l'exercice, on prendra  = 0,128.

2. Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?

3. Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?

4. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces moteurs est égale à  lim t

F t 

F est la fonction définie sur

l'intervalle  0 ;   par   0

x t

x deF t x   .

a. Calculer  F t en fonction de t.

b. En déduire la valeur de dm. On arrondira à 10–1.

2. Exercice 2 (6 points)

Partie A - Étude du signe d'une fonction

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle  0 ;   par   2 4 lnf x x x  .

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites de f en 0 et en  .

2. Démontrer que l'équation   0f x  admet une solution  et une seule dans l'intervalle  0 ;   .

3. En déduire le signe de  f x selon les valeurs du réel strictement positif x.

Partie B - Une valeur approchée du réel  défini dans la partie A

Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative (C) de la fonction g définie sur

 par :   1 2

4 x

g x e

 .

On définit la suite  nu par :   0

1

0,5

n n

u

u g u

 

 pour tout n .

1. Vérifier que  est l'unique solution de l'équation  g x x.

2. Au moyen de la courbe (C)et de la droite d'équation y = x,représenter les termes 1u , 2u et 3u de la suite  nu

sur l'axe des abscisses.

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite  nu ?

3. On admet que pour tout entier naturel n, 2 2 1n nu u   .

En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier n pour lequel les trois premières décimales de nu et 1nu

sont identiques. En déduire que 0,838 est une valeur approchée de  à 10–3 près.

Partie C - Un problème de distance

On appelle (L)la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction  définie sur l'intervalle

 0 ;   par   2 lnx x  .

L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (L),il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres.

1. Soient M un point de la courbe (L) et x son abscisse. Exprimer OM en fonction de x.

2. a. Soit h la fonction définie sur l'intervalle  0 ;   par     22 4 lnh x x x  .

Étudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie A.

b. En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe (L)tel que pour tout point M de (L), distinct de A, on ait OM > OA.

3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente TAà la courbe (L)au point A.

3. Exercice 3 (4 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur n ai bj ck   soit différent du vecteur nul. On appelle Ple

plan d'équation ax + by + cz + d = 0.

Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan P,c'est-à-dire que le vecteur n est orthogonal à tout

vecteur AB A et B sont deux points quelconques du plan P.

Partie B - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.

Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

On désigne par Ple plan d'équation cartésienne 2 3 0x y z   et par A et B les deux points du plan Pde

coordonnées respectives (1, 2, 0) et (0, 3, 1).

1. Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1, 1, –1), (–1, 4, 2), (1, 5, 1).

a. Les points A, B,C définissent le plan P.

b. Les points A, B, D définissent le plan P.

c. Les points A, B, E définissent le plan P.

2. La droite D est définie par la représentation paramétrique :

1

2

x t

y t

z t

   

  

, t .

a. La droite D est perpendiculaire au plan P.

b. La droite D est strictement parallèle au plan P.

c. La droite D est incluse dans le plan P.

3. Soit Sla sphère de centre  , de coordonnées (2, 5, 1), et de rayon 1

2 . L'ensemble des points communs à la

sphère Set au plan P est :

a. vide,

b. constitué d'un seul point,

c. un cercle.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par A le point d'affîxe i et par f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z,

distincte de i, associe le point M' d'affixe ztelle que : ' z i

z z i

  

.

1. Calculer l'affixe du point B’,image du point B d'affixe 2 i par l'application f. Placer les points B et Bsur une

figure que l'on fera sur la copie.

2. Démontrer que l'application f n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z i z i   .

b. Démontrer que OM' = 1 et interpréter géométriquement ce résultat.

c. Démontrer que pour tout point M distinct de A,

   ; ' 2 ; 2u OM u AM k  où k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l'image Md'un point quelconque M distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur w d'affixe 6 i

e

.

a. Dessinerla droite (d).

b. Déterminer l'image par l'application f de la droite (d) privée du point A.

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1).

Pour tout point Mde coordonnées  ;x y , on note M’ l’image du point Mpar la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

 ' ; 'x y ses coordonnées.

1. a. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout point Md’affixe z, l’affixe z’ du point

M’ est donnée par 'z az b  .

b. En utilisant les points A et B, démontrer que  

1

6 6

a b

i a i b

      

.

c. En déduire que, pour tout nombre complexe z :     1 1

' 12 5 1 5 13 13

z i z i    .

d. Établir que, pour tout point Mde coordonnées  ;x y , les coordonnées  ' ; 'x y du point M’ sont telles que :

 

 

1 ' 12 5 1

13

1 ' 5 12 5

13

x x y

y x y

   

     

.

2. On désigne par E l’ensemble des points Mdont les coordonnées  ;x y sont des entiers relatifs et tels que le

point M’ associé appartienne à l’axe des abscisses.

a. Justifier que M  ;x y appartient à E si et seulement si 5(x − 1) = 12y.

b. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k) où k est un entier relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de Msont des entiers relatifs et que l’abscisse de M’ est un entier relatif.

a. Démontrer que  5 1 13x u  .

b. En déduire que  5 12 5 0 13x y   et que l’ordonnée de M’ est un entier relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les points Mde la droite d’équation x = 2 tels que les coordonnées du point M’ soient des entiers relatifs.

On pourra montrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

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