Sciences mathématique - Contrôle 16, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 16, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 16 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les réponses, la nature de l’ensemble.
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Terminale S

Terminale S septembre 2011

Polynésie

1. Exercice 1 (5 points)

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

– « À quel niveau est votre bureau ? »

– « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »

Voici les réponses :

– 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau et 100 vont au 3e niveau.

– Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau.

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les évènements suivants :

– N1 : « La personne va au premier niveau. »

– N2 : « La personne va au deuxième niveau. »

– N3 : « La personne va au troisième niveau. »

– E : « La personne emprunte l’escalier. »

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier est égale à 1

12 .

b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2e niveau.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Déterminer, à 10–4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2e niveau.

c. En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau ?

4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un personne va au 2e niveau » soit supérieure ou égale à 0,99.

2. Exercice 2 (4 points)

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, 2 .EF EF EF EF  .

Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, on a : 2 2 2 2 1

2 2

MA MB MI AB   .

2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que 2 2 2MA MB AB  .

Partie B

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3 4 1 0x y z    et 2 5 0x y z    et les points A et B

de coordonnées respectives  1 ; 0 ; 4 et  3 ; 4 ; 2 .

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

a. Montrer que le point A appartient à la droite (D).

b. Montrer que  1 ; 2 ; 5u  est un vecteur directeur de la droite (D).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (D).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (E) l’ensemble des points M de l’espace tels que 2 2 2MA MB AB  .

Déterminer l’ensemble des points d’intersection de (E) et de la droite (D). On précisera les coordonnées de ces points.

3. Exercice 3 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . L’unité graphique est 1 cm.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives 2 3Az i  , Bz i et 6Cz i  .

On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

1. Calculer B A

C A

z z

z z

 .

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de i, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

 2 3 '

i z i z

z i

  

 .

1. Soit D le point d’affixe 1Dz i  . Déterminer l’affixe du point D’ image du point D par f.

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’application f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, ' AM

OM BM  .

4. Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l’égalité    ; ' ; 2

u OM BM AM

  à

2 près.

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M’ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M’ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point M appartient à la droite (AB).

Corrigé (Polynésie, septembre 2011)

Partie A

1. 2 3 2 4 2 4 4 2 20

6 2 3 4 2 4 2 4 2 20

B A

C A

z z i i i i i i i

z z i i i i i

            

       .

2.    , arg 2

AC AB i

  et 1 AB

i AC   . Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en A.

Partie B

1.     

  ' 1 2 3 2 1 22 5

1 1 2 1 2 1 2 5 D

i i i i ii i z i

i i i i i

             

     .

2. a. On cherche z tel que  

    2 3

2 2 2 3 2 2 2 3 2 5 i z i

i i z i i z i z i z i z i z i

                

 .

b. AE a pour affixe 2 5 2 3 4 8i i i       , AB a pour affixe 2 3 2 4i i i     donc 2AE AB , les points A, B, E sont alignés.

3. ' A

B

z z z i

z z

 

 d’où en passant au module : ' ' 1A

B

z z AM z i OM

z z BM

    

 .

4. En prenant l’argument, on a :           arg ' arg arg 2 , ' , 2 2

A

B

z z z i u OM BM AM

z z

  

       

  .

5. Si M est sur la médiatrice de [AB], alors on a AM BM donc ' 1OM  : M’ appartient au cercle de centre O, de rayon 1.

6. Si le point M’ appartient à l’axe des imaginaires purs, alors

       , ' 2 , 0 ou 2 2

u OM BM AM        : les points A, B, M sont alignés, le point M appartient à la

droite (AB).

4. Exercice 4 (6 points)

Partie A Question de cours

Soit I un intervalle de . Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u’ et v’ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.

Partie B

On considère les fonctions f et g définies sur  par :     2

1 xf x x e  et     23

1 2

g x x  .

On note respectivement C1 et C2 les courbes représentatives de f de g dans le plan muni d’un repère orthonormal

( ; , )O i j . Les courbes sont tracées ci-dessous.

1. a. Déterminer les coordonnées des points communs à C1 et C2.

b. Donner les positions relatives de C1 et C2 sur .

2. a. À l’aide de deux intégrations par parties successives, déterminer   1

0

f x dx .

b. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C1, C2 et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite  nu définie pour tout entier naturel n non nul par :   1

2

0

1 n x

nu x e dx   .

1. a. Démontrer que, pour tout x de  0 ;1 et pour tout entier naturel n non nul,     2 2

0 1 1 n nxx e x    .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 1

0 2 1

nu n

  

.

2. En déduire que la suite  nu est convergente et déterminer sa limite.

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