Sciences mathématique - Contrôle 2, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 2, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices communs, Nombres pentagonaux centrés, Nombres mystérieux, Variations autour du cône.
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8. Créteil

http://maths.ac-creteil.fr/spip/spip.php?rubrique59

8-a : Un défi entre copains

Série S

Quatre copains se réunissent pour relever le défi suivant trouvé dans un vieux livre de mathématiques :

« Trouver toutes les fonctions f définies sur  vérifiant la propriété (P) suivante :

Pour tous réels a et b,          2 24a b f a b a b f a b ab a b         . »

1. a. Ali, Laure et Yin testent la propriété (P) avec des fonctions particulières : Ali utilise la fonction x x , Laure

utilise la fonction 2x x et Yin utilise la fonction 3x x .

Lequel d’entre eux aura trouvé une fonction vérifiant la propriété (P) ?

b. Thomas, le quatrième copain, affirme que : « la fonction sinx x ne vérifie pas la propriété (P) ».

Pour cela il a remplacé les réels a et b par deux valeurs particulières. Quelles valeurs de a et de b a-t-il pu choisir ?

2. Ali affirme que : « Si une fonction f définie sur  vérifie la propriété (P), alors f est une fonction impaire »

a. Montrer qu’Ali a raison.

b. La fonction 4x x vérifie-t-elle la propriété (P) ?

c. Yin s’interroge sur le fait que : « Si une fonction f définie sur  est une fonction impaire, alors f vérifie la propriété (P) ». Quelle réponse lui donneriez-vous ?

3. a. Laure affirme que : « Si une fonction f définie sur  vérifie la propriété (P) , alors    2 2 1 6f f  ».

Montrer que Laure a raison et expliquer sa démarche.

b. Le groupe annonce qu’il a établi une relation entre 3

2 f      

et  2f . Quelle relation ont-ils pu trouver ?

4. Pour aider le groupe :

a. Déterminer une relation entre  f x et  1f pour x réel quelconque. De quelle forme sont les fonctions vérifiant

la propriété (P) ?

b. Relever le défi posé par ce groupe de copains.

8-b : Le Dictionnaire de MeGa.

Le petit MeZoCoDi feuillette le tout nouveau Dictionnaire de MeGa que son ami GaLuZo lui a donné. Ce dictionnaire est un peu particulier :

- Il égrène tous les mots possibles formés d’au plus 4 syllabes prises parmi Bu, Co, Di, Ga, Lu, Me et Zo, en commençant par les 7 mots de une syllabe écrits dans l’ordre alphabétique, suivis par les mots de deux syllabes écrits dans l’ordre alphabétique et ainsi de suite jusqu’aux mots de 4 syllabes.

Par exemple, Ga, CoDi, MeZo, GaLuZo et MeZoCoDi sont des mots du dictionnaire.

- De plus chaque page, sauf éventuellement la dernière, contient exactement 60 mots disposés en quatre colonnes de 15 mots chacune.

1. Sachant qu’il commence page 1, combien le dictionnaire de MeZoCoDi comporte-t-il de pages ?

2. Combien de mots peut-on lire sur la dernière page ?

3. MeZoCoDi se rend vite compte que son nom et celui de son ami GaLuZo figurent dans le dictionnaire.

À quelle page trouvera-t-il son nom ? Et celui de son ami ?

4. Sachant qu’un mot sur une page est repéré par son numéro de colonne x , 1 4x  , et son rang dans la colonne y,

1 15y  , comment les noms de nos deux personnages sont-ils repérés ?

8-c : Les s-nombres

toutes séries

On dit qu’un entier naturel est un s-nombre s’il est impair et s’il ne peut s’écrire que d’une seule façon comme somme d’entiers consécutifs non nuls.

Par exemple, 6 n’est pas un s-nombre car il n’est pas impair ; 1 non plus car il ne se décompose pas en somme d’entiers consécutifs non nuls ; 3 est un s-nombre car 3 = 1 + 2 est la seule décomposition possible de 3 en somme d’entiers consécutifs non nuls ; mais 9 = 5 + 4 = 2 + 3 + 4 n’en est pas un, sa décompo-sition n’étant pas unique.

Voici la liste des 11 premiers entiers impairs supérieurs ou égaux à 3 et l’ensemble de leurs décompositions en somme d’entiers consécutifs non nuls :

3 =1+ 2 5 = 2 + 3 7 = 3+ 4 9 = 4 + 5 = 2 + 3+ 4

11 = 5 + 6 13 = 6 + 7 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 17 = 8 + 9

19 = 9 +10 21 =10 +11 = 6 + 7 + 8 =1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 23 =11+12

1. a. Montrer que 25 n’est pas un s-nombre. Qu’en est-il de 27 et de 49 ?

b. Sachant que, dans l’ordre, le premier s-nombre est 3, le deuxième s-nombre 5, quel est le neuvième s-nombre ?

c. Conjecturer une propriété qui caractérise l’ensemble des s-nombres.

2. Montrer que tout nombre impair peut s’écrire comme somme de deux entiers consécutifs.

3. La figure 1 ci-dessous illustre une décomposition de 25 en 5 entiers consécutifs (3+ 4 + 5 + 6 + 7) à l’aide de 25 petits carrés ; la figure 2 montre un rectangle formé de deux exemplaires de la figure 1.

figure 1

figure 2

En considérant le nombre de petits carrés du rectangle, on a ainsi l’égalité : 2  25 = 5  10.

a. À quoi correspondent le nombre de lignes et le nombre de colonnes du rectangle par rapport à la décomposition 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ?

b. Généraliser et montrer que si un entier naturel n est la somme de k entiers naturels consécutifs alors l’entier 2n s’exprime de façon simple en fonction de k et du plus petit terme de la somme.

4. En déduire que si l’entier naturel n est somme de k entiers consécutifs non nuls avec 3k  , alors n est divisible

par k ou par 2

k .

5. Valider la conjecture de la question 1.

9. Dijon

http://mathematiques.ac-dijon.fr/

9-a : Quasi-premiers

On rappelle qu’un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs. La liste des nombres premiers commence ainsi : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …., et cette liste est infinie. On dit qu’un nombre entier naturel non nul est un nombre quasi-premier si ce nombre n’est pas premier et si, en modifiant un et un seul des chiffres de l’écriture en base dix de ce nombre, on obtient un nombre premier. Par exemple 24 est un nombre quasi premier car il n’est pas premier et 23 est premier.

1. Quelques exemples

a. Démontrer que tout entier non nul inférieur à 100 est soit premier, soit quasi-premier.

b. Quelle est la nature du nombre 100 ?

2. Démontrer qu’il existe une infinité de nombres quasi-premiers.

3. Encore des infinités

a. Démontrer que le nombre 200 n’est ni premier ni quasi-premier.

b. Soit k un entier naturel. Le nombre 2310 k + 200 peut-il être premier ? Peut-il être quasi-premier ?

c. En déduire qu’il existe une infinité de nombres qui ne sont ni premiers ni quasi-premiers.

4. Des nombres à la chaîne

a. Peut-on trouver une liste de 7 entiers consécutifs qui soient des nombres quasi-premiers ?

b. Peut-on trouver une telle liste de longueur supérieure à 7 formée uniquement de nombres quasi-premiers ?

9-b : Cercles de Ford

Partie A

Le but de cette partie est de déterminer tous les couples d’entiers naturels non nuls qui vérifient l’équation (E) :

1 1 1

a b c   .

1. On suppose que (a ; b) est un couple d’entiers naturels solution de (E).

a. Démontrer que 2 1b a a   .

b. En déduire qu’il existe un entier naturel non nul n tel que l’on ait a = n2 et b = (n+1)2.

2. Résoudre l’équation (E).

Partie B

1. Deux cercles c1 et c2 de centres respectifs B et C, de rayons respectifs b et c sont situés du même côté d’une droite d, tangents à cette droite respectivement en J et K, et tangents entre eux (figure 1).

Démontrer l’égalité KJ2 = 4bc.

2. On reprend la figure 1, et l’on rajoute un cercle c3 de centre A et de rayon a, qui est tangent à la droite d en I, et tangent extérieurement aux cercles c1 et c2 (figure 2)

Démontrer l’égalité 1 1 1

a b c   .

3. On considère la figure de la question 2.

a. Donner une infinité de cas où les trois rayons sont des entiers, l’un étant le produit des deux autres.

b. Donner un cas où les trois rayons sont des entiers et où le rayon du petit cercle est égal à 2010.

10. Guadeloupe

http://pedagogie.ac-guadeloupe.fr/mathematiques

10-a : Carrés parfaits !

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, déterminer tous les carrés ABCD d’aire 20 vérifiant les conditions suivantes :

* A appartient à l’axe des abscisses

* B appartient à l’axe des ordonnées

* les coordonnées de A, B, C et D sont des entiers naturels.

10-b : Polygones réguliers

« Dans un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, la somme des carrés des distances entre un sommet et les autres sommets est égale à 2n ».

Vérifier la propriété pour :

a. n = 3

b. n = 4

c. n = 5.

On pourra admettre que 2 5 1

cos 5 4

   .

11. Grenoble

http://www.ac-grenoble.fr/maths/

11-a : Nombres pentagonaux centrés.

Un nombre pentagonal centré est un nombre qui peut être représenté par un pentagone ayant un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre en formant des couches pentagonales successives.

Les quatre premiers nombres pentagonaux sont 1, 6, 16 et 31.

1 6 16 31

1. a. Quel est le 5ème nombre pentagonal centré ?

b. Combien de points faudra-t-il ajouter pour passer au 6ème nombre pentagonal centré ?

2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n,    1

1 2 3 ... 1 2

n n n

       .

On pourra pour cela observer la figure ci-dessous :

b. En déduire que les nombres pentagonaux centrés peuvent tous être écrits sous la forme :  1

1 5 2

n n  où n est

un entier naturel.

c. 2176 est-il un nombre pentagonal centré ? Indiquer la méthode utilisée pour répondre.

2. a. Quels sont les chiffres des unités possibles pour un nombre pentagonal ?

b. Pour quelles valeurs de n le n-ième nombre pentagonal est il pair ?

c. Quel est le chiffre des unités du 20092010-ème nombre pentagonal centré ?

11-b : Nombres mystérieux

Pour les élèves des sections autres que S et STI.

1. On considère un ensemble de trois nombres mystérieux dont on ne connaît que les sommes deux à deux. Ces sommes sont 5, 7, 8. Déterminer ces trois nombres mystérieux.

2. On considère maintenant cinq nombres mystérieux dont les sommes deux à deux sont 18, 24, 26, 28, 30, 36, 38, 42, 48, 50. Déterminer ces cinq nombres mystérieux.

11-c : Variations autour du cône

Pour les élèves des sections S et STI.

1. Le dessin ci-contre représente un abat-jour conique.

Le diamètre du cercle de base est 30 cm, celui du cercle de tête (le cercle du haut) 15 cm, la hauteur 18 cm.

On décide de découper une pièce de tissu pour le garnir.

Réaliser un patron à l’échelle 1

3 .

On rédigera les éléments de construction et fera figurer sur le dessin les points B et C.

La partie à découper devra être mise en évidence.

2. On découpe dans un disque de rayon R un secteur angulaire pour former le patron d'un cône de révolution.

Le rapport de longueur entre l'arc intercepté par le secteur angulaire restant et le cercle est donc un réel compris entre 0 et 1. On le note x.

Par exemple si x = 0,75, le secteur angulaire correspond aux trois quarts du disque.

Le but de cette question est de déterminer la valeur de x pour que le volume du cône soit maximal.

a. Calculer en fonction de x et de R :

i. la longueur de l'arc de cercle intercepté par le secteur angulaire,

ii. le rayon du cercle de base du cône,

iii. le volume du cône.

b. Déterminer la valeur  de x pour laquelle le volume est maximal.

On pourra chercher un encadrement de  . Le calcul de la valeur

exacte de  sera apprécié.

12. La Réunion (*)

http://maths.ac-reunion.fr/Concours-et-Rallyes/Olympiades-de-Mathematiques/

13. Lille

http://www5.ac-lille.fr/~math/classes/olympiades.html

13-a : Jusqu’au dernier…

Série S

1. Antoine et Luc jouent au jeu suivant :

On inscrit sur un tableau les nombres entiers de 1 à 64. Parmi ces nombres, on en choisit deux distincts, a et b que l'on efface, mais on inscrit alors leur somme a + b; il reste donc 63 nombres au tableau. On recommence avec ces 63 nombres et ainsi de suite jusqu'au moment où il ne reste plus qu'un seul nombre.

Antoine parie que ce dernier nombre sera pair et Luc parie qu'il sera impair.

Quelles sont les chances que chacun a de gagner ?

2. Reprendre le même problème en remplaçant la somme par la différence a b.

3. Antoine et Luc décident de changer les règles du jeu :

On inscrit toujours sur un tableau les nombres entiers de 1 à 64. Parmi ces nombres, on en choisit deux distincts, a et b que l'on efface, mais on inscrit alors soit a + b – 1, soit a + b – 2 ; il reste donc 63 nombres au tableau.

On recommence avec ces 63 nombres et ainsi de suite jusqu'au moment où il ne reste plus qu'un seul nombre.

a. Quel est le plus grand nombre que l'on peut ainsi obtenir ?

b. Quel est le plus petit nombre que l'on peut ainsi obtenir ?

c. Peut-on obtenir 2010 ? Si oui, de quelle manière ?

13-b : Dissections d’un carré…

Série S

ABCD est un carré de côté 1

M est un point variable du segment [DA] différent du point D et du point A ; N, P et Q sont les points respectivement des segments [AB], [BC] et [CD] tels que AN = BP = CQ = DM.

Les droites (CM) et (DN) se coupent en S ; les droites (DN) et (AP) se coupent en T ; les droites (AP) et (BQ) se coupent en U ; les droites (BQ) et (CM) se coupent en V.

1. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.

On admet pour la suite de l’exercice que le quadrilatère STUV est également un carré.

2. Existe-t-il une position du point M pour laquelle les quatre triangles QDM, MAN, NBP, PCQ et le carré MNPQ ont la même aire ?

3. Existe-t-il une position du point M pour laquelle les quatre triangles DTA, AUB, BVC, CSD et le carré STUV ont la même aire ?

4. Proposer un partage du carré ABCD en 8 triangles rectangles et un carré de même aire.

5. On considère un entier naturel n supérieur ou égal à 1. Proposer une démarche pour partager le carré ABCD en 4n triangles et un carré de même aire.

13-c : Des triangles géniaux…

Séries autres que S

Un triangle est génial si chaque nombre est le résultat de la soustraction des 2 nombres situés immédiatement en dessous de lui et si chaque nombre est utilisé une et une seule fois.

Par exemple les triangles géniaux de 2 rangées obtenus avec les nombres 1, 2 et 3 sont :

2 2 1 1

3 1 1 3 3 2 2 3

1. Reproduire et compléter le tableau suivant pour obtenir un triangle génial de 3 rangées en utilisant une et une seule fois les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Dans le tableau suivant, on a déjà placé les nombres 5 et 9. L’objectif est de compléter ce tableau pour obtenir un triangle génial de 5 rangées utilisant une et une seule fois les nombres entiers de 1 à 15.

5

9

a. Montrer que le nombre 15 se trouve obligatoirement dans la rangée du bas.

b. Montrer que le nombre 14 se trouve obligatoirement dans l’une des 2 rangées du bas.

c. Reproduire et compléter le tableau.

13-d : Des triangles de même aire…

Séries autres que S

Héloïse et Mathis cherchent à partager un triangle en des triangles de même aire.

Héloïse : « Mathis, saurais-tu partager un triangle en deux triangles de même aire ? (contruction1) ».

Mathis : « C’est trop facile, je peux même le faire avec trois, quatre, autant de triangles que je veux (construction 2). Et toi pourrais-tu partager un triangle ABC en quatre triangles de même aire, l’un d’eux n’ayant aucun sommet commun avec ABC ? (construction 3) »

Héloïse : « Pas mal, et maintenant un peu plus dur : partage le triangle ABC en trois triangles de même aire sachant que ces trois triangles ont un sommet commun autre que A, B ou C (construction 4) »

Mathis : « C’est trop dur, aide moi. »

Héloïse : « Quel point particulier du triangle ABC pourrait-on choisir comme sommet des trois triangles ?»

Mathis : « J’ai une idée mais comment le démontrer ? »

Héloïse : « Tu peux commencer en partageant le triangle ABC en six triangles de même aire, ces six triangles ayant un sommet commun autre que A , B ou C ».

Mathis : « Tu as raison, c’est plus facile comme ça »

Expliquer et justifier les quatre constructions envisagées.

14. Marseille

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/annales/olymp-an.htm

14-a : Une fonction particulière

On considère une fonction numérique f définie pour  0 ;x  , à valeurs dans , dont on donne le tableau de

valeurs suivant :

x  f x

2 3,0103

3 4,7712

4

5 6,9897

6 7,7815

7 8,4510

8

9

10

100

1 000

1 000 000

109

Cette fonction vérifie la propriété suivante :

 Pour tous nombres réels strictement positifs x et y,      f x y f x f y   .

Ainsi, par exemple, l’image de 6 par la fonction f est :

   6 2 3 3,0103 4,7712 7,7815f f     .

Partie A : Étude mathématique

1. Déterminer  4f puis recopier sur votre copie et compléter la table précédente.

2. Calculer  245f .

3. Quelle est l’image de 1 par cette fonction ?

4. Démontrer que, pour tout nombre réel strictement positif y,   1

f f y y

    

  .

Partie B : Application

Un décibel (dB) est une unité servant à exprimer l’intensité acoustique d’un son. Pour simplifier, sur l’échelle des décibels (qui n’est pas linéaire), le son audible le plus faible (silence presque total) auquel nous affectons l’indice 1 mesure 0 dB.

Par exemple, un son d’indice 5 (5 fois plus fort !) s’élève à presque 7 dB.

En réalité, la fonction de la partie A. fait correspondre à l’indice de l’intensité d’un son perçu par une personne sa mesure en décibel.

1. Justifier que si l’indice d’intensité d’un son donné est décuplé, la mesure en dB de celui-ci augmente de 10 dB.

2. Une conversation normale est mesurée à 60 dB. À quel indice d’intensité cela correspond-il ?

3. Un son commence à devenir douloureux au-delà de 80 dB et dangereux à partir de 100 dB. Le son en discothèque est souvent de 110 dB. À quel indice d’intensité cela correspond-il ?

4. Dans un supermarché vous êtes face à deux lave-vaisselles. Le produit A fait un bruit mesuré à 39 dB alors que le produit B est mesuré à 36 dB. Vous discutez avec un commercial en lui disant que vous préférez la machine B car moins bruyante, mais ce vendeur qui doit absolument écouler son stock de machines A vous répond « Oh ! Pour 3 petits décibels, ça ne change pas grand chose… ».

En calculant le rapport des intensités, trouver un argument à opposer au vendeur.

14-b : Flipeur et Flipette

Une mouche mâle (nommée Flipeur) se déplace sur les murs d’une pièce représentée par le pavé de la figure ci- contre (AB = 7 m, AD = 9 m et AE = 4 m). Flipeur se trouve (symboliquement) au point A quand il voit atterrir au point G la délicieuse et irrésistible mouche Flipette. Il décide sans ambages de la rejoindre…

1.Dans un premier temps Flipeur décide de jouer les mouches équilibristes et se déplace uniquement sur les arêtes de la pièce.

a. Nous supposons la condition MI (Mouche Intelligente) suivante vérifiée :

(MI) « La mouche ne repasse jamais deux fois par le même sommet »

Quel est alors le nombre total de chemins possibles permettant d’arriver au point G ?

b. Parmi les chemins précédents, indiquer les chemins les plus courts.

c. Déterminer la probabilité pour que Flipeur choisisse du premier coup un des chemins les plus courts.

2. Devenant plus audacieux, Flipeur s’autorise à quitter les arêtes et à traverser les faces de la pièce. Déterminer le chemin le plus court. Quelle distance Flipeur parcourra-t-il dans ce cas ?

3. Finalement, Flipeur décide de retrouver Flipette le plus rapidement possible sans s’imposer de contrainte (il peut voler !) : quelle distance va-t-il parcourir dans ce cas ?

15. Montpellier

http://webpeda.ac-montpellier.fr/mathematiques/spip.php?article37

15-a : Angle de tir (S)

On a représenté ci-dessous un terrain de rugby. Un joueur a posé le ballon en M et « tente un coup de pied » dit « de pénalité » : il s'agit de faire passer le ballon entre les poteaux A et B.

L'angle AMB est appelé angle de tir. L’ouverture de cet angle est un élément décisif pour la réussite de ce coup de

pied.

1. Représenter sur le terrain trois autres points que M qui offrent le même angle de tir que l'angle AMB ?

2. Un joueur « marque un essai » au point S. La règle veut qu'il place alors le ballon en un point de son choix sur le segment [SS’] perpendiculaire à [AB] pour tirer son coup de pied (dit « de transformation »).

a. Y-a-t-il une ou plusieurs positions qui offrent le mêeme angle de tir que lors de la pénalité précédente ?

b. Où faut-il placer le ballon sur le segment [SS’] pour que l'angle de tir soit maximal ?

15-b : Damiers tronqués et Triminos

Série S

On suppose que n est un entier non nul. Soit un damier ayant 2n cases par côté.

On enlève une case de coin à ce damier.

Un trimino est une pièce de la forme ci-dessous et qui peut recouvrir exactement 3 cases de damier :

Damier tronqué pour n = 4

Par exemple, si n = 1 ( 2 1 cases par côté, le damier tronqué a donc 3 cases), un seul trimino permet de recouvrir le

damier tronqué.

Dans la suite, recouvrir (par des triminos) un damier tronqué donné signifie que les triminos servant à le recouvrir ne se superposent pas et que toutes les cases du damier tronqué sont exactement recouvertes.

Il est permis de tourner les triminos dans tous les sens.

1. Faire un dessin pour n = 2 (4 cases par côté), et montrer comment recouvrir par des triminos ce damier auquel on a enlevé une case de coin.

2. Faire un dessin pour n = 4 (16 cases par côté) et montrer comment recouvrir par des triminos ce damier auquel on a enlevé une case de coin.

3. Prouver que si l'on peut recouvrir par des triminos un damier ayant 2n cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin, alors on peut aussi recouvrir par des triminos un damier ayant 2n+1 cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin.

À ce niveau, on peut conclure que, pour tout n > 0, on peut recouvrir par des triminos un damier ayant 2n cases par côté et auquel on a enlevé une case de coin.

4. Le nombre 201022 1 est-il divisible par 3 ?

15-c : Le jeu de « Nîmes » (non S)

Règles du jeu :

- C'est un jeu à deux joueurs.

- Face à un alignement de bâtonnets, chacun doit à tour de rôle retirer 1, 2 ou 3 bâtonnets au choix.

- Celui qui ne peut plus jouer a perdu.

Exemple avec 23 batonnets :

Vous êtes opposé(e) à un(e) adversaire (c'est en fait un ordinateur !).

Partie A : Il reste 6 bâtonnets, c'est à votre tour de jouer.

1. Décrire deux parties possibles, l'une où vous gagnez, l'autre où vous perdez.

2. Élaborer la stratégie gagnante (c'est-à-dire quel(s) coup(s) jouer pour être sûr(e) de gagner la partie quoi que fasse l'adversaire).

Partie B : Avec n bâtonnets, c'est à votre tour de jouer.

1. Pour n = 101, quelle est la stratégie gagnante ?

2. Si n est un nombre entier non nul, existe-t-il une stratégie gagnante ?

Partie C : Avec n bâtonnets et une nouvelle règle du jeu.

Dans cette partie, on modifie la règle du jeu : les joueurs ne peuvent retirer, à chaque tour, que 2 ou 3 bâtonnets (on n'a plus le droit de retirer un seul bâtonnet).

Vous commencez la partie. Pour quelle(s) valeur(s) de n y a t’il une stratégie gagnante ?

15-d : Damiers et dominos

Autres séries que S

Posé sur un damier, un domino peut recouvrir exactement deux cases ayant un bord commun.

Dans la suite, recouvrir (par des dominos) signifie que les dominos servant à recouvrir le damier ne se superposent pas et que toutes les cases données sont exactement recouvertes.

n est un nombre entier non nul.

Domino Damier

1. Peut-on recouvrir un damier ayant 9 cases de côte ?

2. Peut-on recouvrir un damier ayant 2n cases de côté et dont on a retiré la case située en haut à gauche ?

3. Peut-on recouvrir un damier ayant 2n cases de côté et dont on a retiré une case à chaque extrémité d'une même diagonale ? (on rappelle qu'un damier comporte des cases blanches et des cases noires)

4. Peut-on recouvrir un damier ayant 2n + 1 cases de côté et dont on a retiré une case à chaque extrémité d'une même diagonale ?

5. Démontrer qu'il est possible de recouvrir un damier ayant 2n + 1 cases de côté dont on a retiré la case située en haut à gauche.

16. Nancy-Metz

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/ipr/olympiad.htm

16-a : La formule d’Euler

Séries S-STI-STL

Figure 1: Exemple d’un 7-gone. Figure 2 : Exemple d’un 7-gone avec une

subdivision de son intérieur.

On appellera k-gone un polygone dans le plan ayant k sommets (et donc aussi k côtés ou arêtes).

Un triangle est donc un 3-gone, un parallélogramme est un 4-gone. La figure 1 donne un exemple de 7-gone.

On ne considère dans cet exercice que les triangles et les k-gones dont les diagonales sont dans l’intérieur du k-gone (une diagonale étant un segment joignant deux sommets non consécutifs).

Pour chaque sommet d’un k-gone, on appelle angle interne celui qui est à l’intérieur du k-gone et angle externe celui qui est à l’extérieur.

1. a. Montrer que pour un 4-gone, la somme des angles internes est 2 et la somme des angles externes est 6 .

b. Montrer que pour un 5-gone, la somme des angles internes est 3 et celle des angles externes est 7 .

2. Soit 3k  .

a. Montrer que la somme des angles internes d’un k-gone est  (k – 2).

b. En déduire que la somme des angles externes d’un k-gone est  (k + 2).

3. Soit P un k-gone. Son intérieur peut-être subdivisé en un ensemble de triangles. La figure 2 donne un exemple de subdivision de l’intérieur d’un 7-gone.

On note f le nombre de triangles de la subdivision, s le nombre total de sommets de la subdivision et a le nombre total d’arêtes de la subdivision.

a. Sur l’exemple de la figure 2, donner les valeurs de s, a et f, et vérifier que s –a + f = 1.

b. En considérant de deux manières différentes la somme des angles en chaque sommet d’un k-gone, montrer que 2s = f + k + 2.

c. Démontrer que 2a = 3f + k.

d. En déduire la formule d’Euler : s –a + f = 1.

16-b : Un solide dans un cube

Séries S-STI-STL

On considère le cube ABCDEFGH (figure 1) de côté c et de volume V.

1. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est égal à 1

3 B h , où B est l’aire d’une face du tétraèdre et h la longueur

de la hauteur s’appuyant sur cette face. Calculer le volume du tétraèdre ABDE.

2. On rappelle qu’un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont toutes les arêtes ont la même longueur.

a. Montrer qu’il est possible de trouver quatre sommets du cube constituant les sommets d’un tétraèdre régulier. Calculer le volume de ce tétraèdre en fonction de V.

b. Justifier qu’on ne peut construire que deux tétraèdres réguliers à partir des sommets du cube.

3. On considère les deux tétraèdres FHAC et EBGD.

a. Calculer, en fonction de V, le volume du solide obtenu en enlevant tous les points du cube qui n’appartiennent à aucun des deux tétraèdres (voir figure 2).

b. Calculer, en fonction de V, le volume du solide intersection des deux tétraèdres (voir figure 3).

16-c : Les pylônes

Séries ES-L-STG-ST2S

1. La figure à gauche représente un pylône. Les poutrelles indiquées en gras sont toutes de même longueur :

AB = AC = BE = CD = DE.

Calculer la mesure en degrés de l’angle ADB .

2. La figure à droite représente un autre pylône.

Les poutrelles indiquées en gras sont également toutes de même longueur :

AD = AE = EG = DF = GH = FI = IC = HB = BC.

Calculer la mesure en degrés de l’angle BAC .

16-d : Les damiers

Considérons un damier rectangulaire formé de cases noires et blanches.

Découpons-le en n rectangles en respectant les cases avec un découpage satisfaisant aux conditions suivantes :

- Chaque rectangle est formé d’autant de cases blanches que de cases noires.

- Il n’y a pas deux rectangles ayant le même nombre de cases blanches.

Dans la suite de l’exercice, pour un découpage répondant aux deux conditions précédentes :

- on note a1, a2, …an , avec a1 < a2 < a3 <…< an, le nombre de cases blanches dans les n rectangles.

- on appelle « décomposition possible » la liste ordonnée (a1, a2, …, an).

Exemple ci-contre : (1, 3, 4) constitue une décomposition possible d’un damier carré de 4x4 cases.

1. Considérons un damier de dimensions 6 cases en largeur et 7 cases en longueur.

a. Trouver une décomposition possible en trois rectangles.

b. La liste (1, 3, 6, 11) est-elle une décomposition possible ? Pourquoi ?

c. Déterminer le nombre maximum de rectangles que peut compter une décomposition possible du damier.

2. Considérons un damier de dimensions 6 cases en largeur et 6 cases en longueur.

Déterminer toutes les décompositions possibles ayant le nombre maximum de rectangles.

3. Peut-on trouver une décomposition possible en 2011 rectangles pour un damier de dimensions 2010 cases sur 2011 cases ?

17. Nice

http://www.ac-nice.fr/maths/

17-a : Lieux de points

Toutes séries

ABCDEFGH est un cube. On s’intéresse dans cette série de questions au lieu des points I, milieux de M et M’ quand M et M’ se déplacent sur des zones distinctes.

Pour chacun des exercices proposés, aucune justification n’est demandée, juste le dessin du lieu sur le cube représenté et la description de ce lieu (par exemple, c’est un carré centré sur…, c’est un cube dont le côté mesure…).

Question 1 : Le point M est confondu avec A, le point M’ est sur la face EFGH. Quel est le lieu des points I, milieux du segment [MM’] ?

Question 2 : Le point M est sur le segment [AE], le point M’ est sur le segment [HG]. Quel est le lieu des points I, milieux du segment [MM’] ?

Description :

Description :

Question 3 : Le point M est sur la face BCGF, le point M’ est sur la face EFGH. Quel est le lieu des points I, milieux du segment [MM’] ?

Question 4 : Le point M est sur le bord de la face ABCD, le point M’ est sur le bord de la face EFGH. Quel est le lieu des points I, milieux du segment [MM’] ?

Description : Description :

17-b : La marelle

Série S

Question préliminaire : soit p et q entiers naturels non nuls, avec p < q, montrer que q p et q + p sont de même parité.

On admettra que pour tout entier n non nul,    1

1 2 3 ... 1 2

n n n n

        .

1. Une marelle circulaire est formée de 7 cases numérotées de 0 à 6 (voir la figure ci-dessous).

Etape n°1 : Un enfant part de case n°0, avance d’une case, arrive sur la case n°1 et la marque d’une croix,

Etape n°2 : il avance de 2 cases, il arrive alors sur la case n°3 et la marque d’une croix,

Etape n° 3 : il continue en avançant de 3 cases, arrive sur la case n°6 et la marque d’une croix,

Etape n°N : il continue ainsi de tourner en ajoutant une case au nombre de cases de son déplacement précédent et en marquant la case atteinte.

Il décide de s’arrêter quand toutes les cases sont marquées d’au moins une croix.

La question est : s’arrêtera-t-il ?

a. Sur quelle case se trouve-t-il au bout de 10 étapes ?

b. au bout de 100 étapes ?

c. Pouvez-vous dire s’il peut s’arrêter en ayant marqué toutes les cases de la marelle ?

2. Il recommence avec une marelle à 8 cases numérotées de 0 à 7, s’arrêtera-t-il ?

3. Il tente avec une marelle à 9 cases, qu’en pensez-vous ?

4. On suppose que la marelle a N cases numérotées de 0 à N – 1.

a. Quelle case est atteinte à la 2N – 1 étape ? Que se passe –t-il après la (2N–1)-ième étape ?

b. Montrer que si la marelle a N cases avec N impair, il ne s’arrêtera pas.

5. Soit p et q deux entiers avec 0 < p < q, on appelle ap la p-ième case atteinte à l’étape p et aq la q-ième case atteinte à l’étape q.

a. Dans quels cas a-t-on ap = aq ?

b. Combien d’étapes sont nécessaires pour aller de ap à aq ?

6. Montrer que si N = 2k avec k entier non nul, et si p et q sont strictement inférieurs à N, on a 0pa  et p qa a et

que l’enfant s’arrêtera.

7. Montrer que dans tous les autres cas, l’enfant ne pourra pas s’arrêter en ayant marqué toutes les cases d’une croix.

17-c : Time is money !

Séries autres que S

Dans un pays imaginaire, la monnaie est le liard et il n’y a que des pièces de 3, de 5 et de 7 liards.

Absalon veut y faire des achats. Il a une bourse bien garnie, pleine de pièces de 3, de 5 et 7 liards.

Dans cette première partie, on suppose qu’Absalon va chez un commerçant qui n’a pas un liard en caisse et qu’il ne peut pas lui rendre la monnaie.

Absalon doit donc donner la somme exacte en pièces de 3, de 5 et de 7 liards.

1. Trouvez toutes les manières possibles de payer exactement 34 liards avec ses pièces.

2. Trouvez toutes les sommes qu’il est possible de payer avec cette même contrainte

3. Ainsi que toutes celles qui sont impossibles à réaliser avec de telles pièces.

Dans cette seconde partie, Absalon va chez un commerçant qui peut lui rendre la monnaie (lui aussi a autant de pièces que nécessaire et toujours uniquement avec des pièces de 3, de 5 et de 7 liards).

4. Donner trois manières différentes de payer 1 liard.

5. Donner la manière de régler 2010 liards avec un nombre minimal de pièces.

18. Orléans Tours

http://maths.tice.ac-orleans-tours.fr/php5/spip.php?rubrique40

18-a : Des points à l’intérieur d’un triangle

ABC est un triangle équilatéral dont le côté a pour longueur 8 3 cm.

On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

Le point H est le pied de la hauteur issue du point A.

Pour tout point M intérieur au triangle ABC, on considère les points P, Q et R définis comme suit :

* la droite passant par le point M et perpendiculaire au segment [BC] coupe ce segment en P ;

* la droite passant par le point M et perpendiculaire au segment [CA] coupe ce segment en Q ;

* la droite passant par le point M et perpendiculaire au segment [AB] coupe ce segment en R.

Partie I. Une longueur remarquable

1. Calculer la longueur AH.

2. Démontrer que MP + MQ + MR = AH.

Pour cela, on pourra considérer les aires des triangles AMB, BMC et CMA.

Partie II. Un problème d’aire

À tout point M intérieur au triangle ABC, on associe un triplet (x ; y ; z) de nombres appelés « coor-données triangulaires du point M » et définis de la manière suivante :

x = MP, y =MQ, z = MR,

où MP, MQ et MR représentent les mesures, exprimées en cm, des longueurs respectives des segments [MP], [MQ] et [MR].

On s’intéresse aux points M dont les trois « coordonnées triangulaires » sont des nombres entiers et tels que l’aire du quadrilatère ARMQ soit égale au tiers de l’aire du triangle ABC.

1. Démontrer que le point G, centre de gravité du triangle ABC, vérifie les deux conditions précédentes.

2. Dans cette question, M est un point quelconque intérieur au triangle ABC.

Calculer l’aire du quadrilatère ARMQ en fonction des coordonnées triangulaires x, y et z du point M.

Démontrer alors que cette aire est donnée par  2 23 4 6

y yz z  .

3. Existe-t-il des points M, intérieurs au triangle ABC, autres que le point G, dont les « coordonnées triangulaires » sont des nombres entiers et tels que l’aire du quadrilatère ARMQ soit égale au tiers de l’aire du triangle ABC ?

Solution

A. 1. La hauteur d’un triangle équilatéral est

3 3 côté= 8 3 12

2 2    .

2. La somme des aires des trois triangles vaut l’aire du triangle :

1 1 1 1 MR AB MP BC MQ AC BC AH

2 2 2 2       

d’où en simplifiant par AB=BC=AC le résultat.

B. 1. Pour G, MR=MP=MQ donc 1

MR AH 4 3   et

G(4 ; 4 ; 4). De plus l’aire de ARMQ est bien 1/3 de l’aire du triangle.

2. aire(ARMQ)=aire(ARM)+aire(AMQ), soit

18-b : Des entiers consécutifs

Les entiers 3, 4 et 5 sont dits consécutifs car 4 = 3 + 1 et 5 = 4 + 1, autrement dit, on passe de l'un à l'autre en ajoutant 1.

1. On remarque que : 32 + 42 = 52 .

Existe-t-il trois autres entiers positifs consécutifs tels que la somme des carrés des deux premiers soit égale au carré du troisième ?

2. a. Trouver quatre entiers positifs consécutifs tels que la somme des cubes des trois premiers soit égale au cube du quatrième.

b. Le problème a-t-il d'autres solutions ? Pour répondre à cette question, on pourra s’aider de l’étude de la fonction f

définie par         3 3 33 1 2 3f x x x x x       .

3. On se propose de démontrer que l'on ne peut pas trouver cinq entiers positifs consécutifs a, b, c, d et e tels que : a4 + b4 + c4 + d4 = e4.

a. On suppose que a est un entier impair. En recourant à des propriétés de parité, montrer que l’on ne peut pas avoir l’égalité

a4 + (a + 1)4 + (a + 2)4 + (a + 3)4 = (a + 4)4.

b. On suppose que a est un entier pair. Démontrer que, dans ce cas également, on ne peut pas avoir l’égalité a4 + (a + 1)4 + (a + 2)4 + (a + 3)4 = (a + 4)4.

Pour cela, on pourra s’intéresser au chiffre des unités de l’écriture décimale de l’entier a.

19. Paris

http://www.ac-paris.fr/portail/jcms/d_5402/disciplines-maths-portail

19-a : Une fonction

On considère la fonction f définie dans par

f(x) = (x + 1) − 2(x + 2) + 3(x + 3) − 4(x + 4)+…+ 2009(x + 2009) − 2010(x + 2010)

1. Résoudre dans , l'équation f(x) = 0.

2. Montrer que, pour tout entier relatif impair k, f(k) est un entier multiple de 2010.

Existe-t-il un entier k pour lequel f(k) = 2010 ?

19-b : Octogone

Un octogone convexe A1 A2 A3 … A8 est inscrit dans un cercle de rayon non nul.

A1 A3 A5 A7 est un carré d'aire égale à 5 ; A2 A4 A6 A8 est un rectangle d'aire égale à 4.

Déterminer, en justifiant, l'aire maximale de l'octogone.

20. Poitiers

http://ww2.ac-poitiers.fr/math/spip.php?rubrique26

20-a : La Fiac

La Foire Internationale de l'Automate Cellulaire se compose de plusieurs bâtiments polygonaux. À chaque sommet de ces polygones, il y a un poste de garde. Chaque soir un poste de garde peut être occupé, ou non, par un gardien. La première nuit, le Directeur de la FIAC décide quels postes vont être occupés. Puis la répartition des gardiens se fait ainsi :

- Si lors de la nuit n, les deux sommets adjacents à un poste étaient tous deux vacants, ou tous deux occupés, alors ce poste sera occupé lors de la nuit suivante n + 1.

- Si, au contraire, lors de la nuit n, les deux sommets adjacents à un poste étaient l'un occupé et l'autre non, alors ce poste ne sera pas occupé lors de la nuit n + 1.

Exemple : Le bâtiment A est un pentagone. On convient de noter G les postes occupés par un gardien et V les postes vacants.

Le directeur décide de la position suivante :

Nuit 1

La nuit suivante on obtient la configuration :

Nuit 2

1. Déterminer les configurations obtenues dans le bâtiment A pour les nuits 3, 4, 5 et pour la nuit 10.

2. Dans le bâtiment B qui compte 2010 sommets, le directeur place un seul gardien pour la nuit 1 (les 2009 autres postes étant donc vacants). Combien seront-ils pour la nuit 8 ? pour la nuit 99 ?

3. Dans le bâtiment C, superbe octogone (huit sommets), le directeur constate avec affolement lors de la nuit 3 qu'il n'y a plus aucun gardien ! Combien en avait-il pourtant postés lors de la nuit 1 ?

4. Le bâtiment D est un heptagone (sept sommets). Le directeur a choisi une disposition des gardes pour la nuit 1. Lors de la nuit 2, les gardes du bâtiment D sont-ils en nombre pair ?

5. Dans le bâtiment E (neuf sommets), le directeur constate après une semaine que la disposition lors de la nuit 8 est rigoureusement identique à celle choisie lors de la nuit 1, et que l'un des postes de garde n'a jamais été occupé durant cette période. Combien de gardiens le directeur avait-il postés lors de la nuit 1 ?

20-b : Des suites de Fibonacci

A traiter par les candidats de la série S

Les dix nombres 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55 sont le début de la célèbre suite de Fibonacci, associée à la reproduction des lapins, dont chaque terme s’obtient à partir du troisième en ajoutant les deux termes qui le précédent.

On nomme aussi suite de Fibonacci toute succession de termes dont les deux premiers sont choisis arbitrairement, et dont les suivants sont calculés sur le principe que le terme numéro (n + 2) est égal à la somme des deux termes précédents : ceux de numéros (n + 1) et n, ceci pour tout n entier strictement positif.

1. Continuez à écrire les termes de la célèbre suite de Fibonacci qui suivent les dix premiers donnés, et arrêtez-vous dès que vous dépassez 2010.

2. a. Dans une autre suite de Fibonacci les deux premiers termes ont pour valeurs a et b dans cet ordre. Écrire les termes suivants de cette suite, en fonction de a et b, du numéro 3 jusqu’au numéro 10.

b. Calculez en fonction de a et b la somme des dix premiers termes.

c. Comparez cette somme et la valeur du septième terme.

d. Vous observez les 10 premiers termes d’une suite de Fibonacci, vous vous rappelez juste que le quatrième à partir de la fin vaut 123, pouvez-vous donner la somme des 10 termes ?

3. a. Vous participez à un jeu de marelle constituée de 10 cases numérotées de 1 à 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Il s’agit à partir de la case 1 de sauter jusqu’à la case 10. Vous avez le droit de sauter d’une case à la suivante, ou bien de sauter par dessus une case pour se trouver une case plus loin.

Combien y a-t-il de possibilités différentes d’arriver sur la case 10 ?

b. On dispose d’autant de cubes de même taille rouges ou bleus qu’on veut. On bâtit des tours de base un cube et de 10 étages de haut, en respectant la condition qu’il n’y ait jamais deux étages rouges successifs. Combien peut-on faire de tours colorées différentes ?

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