Sciences mathématique - Contrôle 3, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 3, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 3 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, Un quadrilatère particulier, Problème.
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4. Tout entier qui ne figure pas dans la célèbre suite de Fibonacci peut être décomposé en somme de plusieurs termes distincts de cette suite, même si on oblige que deux de ces nombres ne doivent pas être consécutifs dans la suite d’origine.

a. Vérifiez cela par écrit pour tous les nombres concernés inférieurs à 34 et vérifiez aussi qu’avec toutes les contraintes la décomposition est unique (c’est à dire se fait d’une seule façon).

b. Ecrivez maintenant la décomposition du nombre 2010 en somme de termes de la célèbre suite de Fibonacci.

c. Dans la décomposition de chaque nombre il y a une plus petite composante (le plus petit nombre utilisé). Considérez les plus petites composantes possibles rencontrées dans les décompositions des nombres inférieurs à 34, rangez-les en ordre croissant. Pour chaque plus petite composante, choisir le nombre le plus petit inférieur à 34 qui l’utilise, et écrire la liste en ordre croissant des nombres obtenus : que remarquez-vous ?

5. Le tableau ci-dessous est un carré magique : la somme de chaque ligne, de chaque colonne, de chaque grande diagonale est le même nombre : 15.

8 1 6

3 5 7

4 9 2

a. Construisez le tableau de 9 cases qu’on obtient en remplaçant chaque nombre actuel par la valeur du terme ayant ce numéro dans la célèbre suite de Fibonacci.

Calculez les produits des trois nombres de chaque ligne, de chaque colonne.

Calculez la somme des produits obtenus sur chaque ligne et comparez-la avec la somme des produits obtenus sur chaque colonne.

b. Pour comprendre ce que vous venez de remarquer sur l’exemple chiffré, reprenez les questions du 5. a. avec les neuf termes littéraux d’une suite de Fibonnaci qui commence par a, b, … et concluez.

20-c : À bicyclette (c)

Les candidats des séries L, ES, STI, STL, STG, ST2S ont le choix de traiter l’exercice 4 de la série S ou bien l’exercice suivant.

Parti à 9 h ce matin, Yves a décidé de faire à vélo l’aller et retour jusqu’au sommet du rocher de la Vierge. Sur la première partie du trajet la montée est légère et il a pu rouler à 18 km/h.

Sur la seconde partie, la pente s’accentue et sa vitesse est tombée à 15 km/h.

Le point de vue atteint, il a contemplé le superbe paysage pendant un quart d’heure puis a fait demi-tour.

Il est redescendu à 30 km/h tout d’abord puis a terminé à 22,5 km/h sur la partie la moins inclinée du parcours. Sa randonnée s’est achevée à 11 h 30 min.

1. Quelle distance au total Yves a-t-il donc parcouru ce matin ?

2. Dans quel créneau horaire a-t-il pu atteindre le sommet ? Donner une interprétation graphique de votre réponse.

Solution

1. On se rappelle que d vt .

La durée totale du trajet est 2,5 h dont on enlève 0,25 h pour l’arrêt, soit 2,25 h. Il a parcouru d1, la première partie

du trajet, une fois à 18 km/h, 11 18

d t  , l’autre fois à 22,5 km/h 11'

22,5

d t  ; pareil pour l’autre partie de longueur d2 :

2 2

15

d t  et 22'

30

d t  ; on a donc 2 21 11 1 2 2' ' 2,25

18 22,5 15 30

d dd d t t t t        , soit

1 2

1 1 1 1 2,25

18 22,5 15 30 d d          

   . C’est gênant car on a deux inconnues… et une seule équation, il doit y avoir

une astuce…

Regardons  2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 2 4,52 4,5 1

18 22,5 15 30 18 45 15 30 45 45 10

d d d d dd d d d d d d           , ouf ! et donc 1 2 22,5d d  ; il a

parcouru 2 22,5=45 km.

2. Supposons que la partie d2 soit nulle, il aurait fait 22,5 km à 18 km/h, soit 1,25 h, c’est le temps minimum… Si c’est la partie d1 qui est nulle, il mettrait 22,5/15=1,5 h, c’est le temps maxi ! Il a atteint le sommet forcément entre 10 h 15 et 10 h 30… C’est beau la science.

21. Reims

http://www.ac-reims.fr/editice/index.php?option=com_k2&view=item&layout=item&id=507&Itemid=602

21-a : Passe-temps pour un portable…(autre que S)

Paloma joue avec la fonction calculatrice de son téléphone portable.

Elle a remarqué qu’en effectuant des divisions, elle obtient en général des résultats avec des groupes de chiffres qui se répètent.

1. Elle effectue la division de 4 par 9, puis de 4 par 99 et de 4 par 999. Elle remarque des particularités et tape une division qui lui donne pour résultat 0,000300030003…

Quelle division a-t-elle pu effectuer ?

2. Tandis qu’elle essaye des divisions à trois chiffres, elle obtient le résultat 0,437437437..., mais, interrompue par un coup de fil, elle ne souvient plus de la division qu’elle a effectuée.

Quels sont les deux nombres qu’elle avait tapés ?

3. En essayant ensuite avec des divisions de quatre chiffres par trois chiffres elle tombe sur 3,023232323... et est de nouveau interrompue par un coup de fil. Quelle division avait-elle effectué cette fois-ci ?

4. En généralisant, peut-on dire que tout nombre ayant une écriture décimale périodique à partir d’un certain rang est un nombre rationnel ? (Rappel : On appelle nombre rationnel, un nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers.)

5. On souhaite étudier la réciproque de l'affirmation précédente : justifier soigneusement que l'écriture décimale d'un nombre rationnel est périodique.

21-b : Point de rencontre (série S)

Deux amis parcourent en sens inverse le bord d'un champ triangulaire ABM. Ils partent du milieu S de [AB] et marchent à la même vitesse. Le côté AM étant plus long que le côté MB, ils se croisent en un point de AM.

Ils voudraient déterminer la position de ce point en utilisant leur boussole (qui leur permet de repérer une direction, et de mesurer l'angle entre deux directions).

Ils décident de recourir à un moteur de recherche sur Internet en utilisant les mots clés suivants : triangle, milieu, côté, partage, périmètre, parallèle.

1. Expliquer ce choix des mots clés.

Ils obtiennent la figure suivante, dans laquelle I est le milieu d’un arc AB , partie d'un cercle de centre O, et M un

point de cet arc avec AM MB . S est le milieu de la corde [AB] et N le pied de la perpendiculaire à (AM) issue de I.

Cette perpendiculaire recoupe le cercle en K et la droite (KB) coupe la droite (AM) en B’.

Il est affirmé que :

a. (MJ) est bissectrice de AMB .

b. JK = MB et (MJ) est parallèle à (KB).

c. JMB’K est un parallélogramme et MB = MB’.

d. Le triangle AB’K est isocèle et N est le milieu du segment [AB’].

e. Les droites (SN) et (MJ) sont parallèles.

2. Expliquer comment ce résultat fournit aux deux amis la solution à leur problème.

3. N'accordant qu'une confiance limitée à la réponse obtenue sur Internet, ils décident de démontrer les affirmations précédentes. Faites de même…

21-c : Un quadrilatère particulier (tous)

On considère un quadrilatère formé de deux triangles rectangles, comme sur la figure ci-contre.

La longueur a de deux des côtés est un nombre entier.

On voudrait savoir comment choisir a pour que la longueur bsoit aussi un entier.

1. Donner l'équation (E) vérifiée par a et b.

2. Quels sont les couples (a, b) d'entiers strictement positifs solutions de (E) pour a compris entre 1 et 12 ?

3. On suppose que (a0, b0)est une solution de (E) et on se demande s'il est possible d'en construire une « plus grande », c'est à dire une solution (a, b), avec a > a0 et b >b0.

a. Montrer que si (a, b)est une solution de (E), alors nécessairement b est impair et a est pair.

b. On peut donc chercher une solution sous la forme

0 2a a p  , 0 2b b q  , où p et q sont des entiers strictement positifs.

Trouver en fonction de a0 et b0 un couple (p, q)tel que (a0+2p, b0+2q) soit une solution. c. Peut-on trouver des valeurs de a comprises entre 350 et 750 pour lesquelles le nombre b correspondant soit entier ?

22. Rennes

http://espaceeducatif.ac-rennes.fr/jahia/Jahia/lang/fr/pid/16941

22-a : Jack et le haricot magique (c)

Pour tous les candidats

Jack a planté un haricot magique, qui mesure déjà dix mètres de haut lorsqu’il décide de l’escalader. Jack est un lilliputien, qui n’est capable de grimper que d’un mètre par jour : il voudrait parvenir tout en haut de ce haricot magique mais, chaque nuit, pendant que Jack dort sur une feuille, le haricot pousse et sa tige s’allonge uniformément de 3 m. Pendant son sommeil, Jack s'éloigne ainsi à la fois du sol et du sommet de la plante !

L'objectif de cet exercice est de déterminer si Jack pourra atteindre son but.

1. Justifier que, au coucher du 2ème jour, il lui reste 10,70 m à escalader.

2. Compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées au centième :

Jour Hauteur du haricot

Hauteur restant à escalader au réveil

Hauteur restant à escalader au coucher

1 10 10 9

2 13 11,70 10,70

3

4

3. Jack atteindra-t-il le sommet du haricot magique ? Si oui, quel jour ? Pour répondre à cette question, on pourra utiliser la calculatrice après avoir précisé les relations existant entre les différentes grandeurs en jeu dans le tableau précédent.

Solution

1. Au début du 2ème jour le haricot mesure 13 m, Jack a monté 1 m la veille, cette hauteur s’est allongée de 3/10 = 0,3 m, Jack est alors à la hauteur 1,3, il lui reste 13 – 1,3 = 11,70 m à escalader ; il grimpe alors d’1 m, ce qui fait bien 10,7 m.

2. Voici ce qu’on peut rentrer dans le tableur et recopier vers le bas :

A B Hauteur du

C Coefficient

D Hauteur restant à

D Hauteur restant à escalader au

Jour haricot d’allongement escalader au réveil coucher

1 10 =1+3/B1 10 =D1–1

=A1+1 =B1+3 =1+3/B2 =C1*D1 =D2–1

55 172 1,0174419 0,37 -0,63

56 175 1,0171429 -0,64 -1,64

3. Jack atteint donc le sommet du haricot magique le 55ème jour.

22-b : Les écailles de poisson (c)

Série S uniquement. Les considérations géométriques sous-jacentes aux calculs réalisés devront être justifiées.

Questions préliminaires

1. Exprimer l’aire d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.

2. Exprimer l’aire d’un secteur circulaire (figure ci- contre) en fonction de son rayon R et de l’angle au centre  .

Problème

Sur le dos du poisson mâle « piscis geometricus », les écailles sont des cercles de même rayon R, disposés les uns au-dessus des autres.

1. On a relevé sur le poisson la configuration d’écailles reproduite sur la figure ci-dessous : les centres des cercles sont alignés et espacés d’une distance égale à R. Déterminer la surface apparente d’une écaille hachurée.

2. Sur le dos du poisson, des écailles situées de part et d’autre de l’arête dorsale laissent apparaître des écailles dorsales en forme de « losanges curvilignes ». Déterminer la surface d’une écaille dorsale représentée sur la figure ci-dessous.

3. Sur les flancs du poisson les écailles sont des cercles de même rayon R, dont les centres sont équidistants les uns des autres, formant un réseau de triangles équilatéraux de côté R. Sur toute la surface de la peau du poisson, les écailles se chevauchent comme indiqué sur la figure suivante. Déterminer la surface apparente d’une écaille.

4. Sur le poisson femelle « piscis geometricus femina », les écailles sont plus resserrées.

La configuration d’écailles reproduite sur la figure ci-dessous montre les cercles de rayon R, dont les centres sont alignés et espacés les uns des autres d’une distance égale à 2R/3. Déterminer la surface apparente d’une écaille.

Solution

Questions préliminaires

1. L’aire d’un triangle équilatéral de côté a est 2 1 3 3

2 2 4 a a a        

.

2. L’aire d’un secteur circulaire de rayon R d’angle au centre  (en radians) est 2 1

2 R .

Problème

1. Le secteur angulaire OBC a pour aire 2 1

2 6 a

, le triangle OAC a pour aire 2 3

4 a , le petit arc AC a pour aire

2 21 3

2 3 4 a a   . Bref, l’aire cherchée est 2 2 2 2 2

1 3 3 3 2

2 6 4 4 6 4 a a a a a

  

               

.

2. L’aire d’une demi-« sous-écaille » est l’aire du carré OADB moins deux fois

le secteur angulaire OBC moins le triangle OAC, soit

2 2 2 21 3 32 1 2 6 4 6 4

a a a a    

          

,

et l’aire complète, deux fois ça.

3. Les deux petits arcs gris on la même aire que les deux petits arcs

'ACC et 'AA C , l’aire cherchée est celle des deux triangles équilatéraux,

soit 2 2 3 3

2 4 2

a a  .

4. Aire partie sombre AA’C= aire 'OA C –aire triangle OAC.

Aire cherchée = aire ADC – aire AA’C.

Al –Kashi :   2 2 24

79cos 2 9

a a a

OCA a a

 

    

,

soit 1

0,34 rad 2

OCA  et 0,34 1,91 2

DAC

  

      

d’où

     21 1 0,33

aire sin 0,34 2 3 6

a OAC a a

      

;

Aire cherchée = 2 2 2 2 1 1 0,33

1,91 0,66 2 2 3 6

a a a a  

     

.

22-c : La régate (c)

Séries autres que S

Partie 1Six jeunes champions ont concouru à une régate de planche à voile : Arthur, Béatrice, Caroline, Diego, Erwan et Fabrice. Un journaliste sportif a rapporté les informations suivantes :

* Arthur, qui était arrivé troisième l'an dernier, a amélioré son classement.

* Béatrice n'est arrivée ni deuxième, ni troisième.

* Diego n'est pas arrivé dernier.

* Erwan est arrivé dans les quatre premiers.

* Fabrice a précédé Caroline de trois places.

* Le véliplanchiste arrivé en quatrième position n'est ni Béatrice, ni Arthur.

* Arthur, qui était parti en tête, a été ralenti par un sac en plastique qui s’est accroché à la dérive de sa planche à voile. Mais, tout comme Fabrice et Béatrice, il est arrivé avant Caroline et Diego.

Quel est le classement de cette régate ? (Il n'y a pas d'ex æquo).

Partie 2

Les informations du journaliste ont été mal retranscrites à l’impression. La dernière information n’est pas passée, et voici ce qu’ont appris les lecteurs du journal :

* Arthur, qui était arrivé troisième l'an dernier, a amélioré son classement.

* Béatrice n'est arrivée ni deuxième, ni troisième.

* Diego n'est pas arrivé dernier.

* Erwan est arrivé dans les quatre premiers.

* Fabrice a battu Caroline de trois places.

* Le véliplanchiste arrivé en quatrième position n'est ni Béatrice, ni Arthur.

Les lecteurs ne sont pas tous d’accord quant au classement de la course… Combien y a-t-il de possibilités de classement, au regard de ces seules informations ? Quels sont les classements possibles ?

Solution

Partie 1

Faisons un tableau et barrons toutes les cases interdites (la lettre indique l’information utilisée) :

Arthur Béatrice Caroline Diego Erwan Fabrice

1 1 e f

2 2 b e f

3 a b e f 3

4 a f 4 e

5 a f 5 d e

6 a f 6 c d e

Il est obligatoire que Béatrice gagne, d’où le classement ci dessus.

Partie 2

Refaisons un tableau et barrons toutes les cases interdites :

Arthur Béatrice Caroline Diego Erwan Fabrice

1 ? e

2 b e

3 a b e

4 a f e

5 a d e

6 a c d e

Si Béatrice gagne c’est comme avant.

Sinon on a les possibilités suivantes (on place dans l’ordre A, B, C, F puis D et E), soit au total 11 classements possibles (je ne suis pas d’accord avec le corrigé officiel).

1 2 3 4 5 6

A F D E B C

A F E D B C

A D F E B C

A E F D B C

A F E/D C B D/E

A E/D F C B D/E

A F D E C B

A F E D C B

A D F E C B

A E F D C B

A F D C E B

A E F C D B

F A E C D B

23. Rouen

http://maths.spip.ac-rouen.fr/spip.php?rubrique86

23-a : Lancers et plantations (S)

On a tracé ci-dessous la courbe représentative, dans un repère orthonormal d'unité 1 cm, de la fonction définie par

  2 1

4 f x x , pour tout x réel.

La lecture d'informations sur ce graphique pourra être utile dans la suite de ce problème.

Soit (E) l'équation 2 0x bx c   .

1. Montrer que l'équation (E) admet deux solutions distinctes si, et seulement si, 2 1

4 c b .

Décrire, dans ce cas, la position du point M de coordonnées (b ; c) par rapport à la courbe de la fonction f tracée dans le repère ci-dessus.

2. Dans une urne contenant 11 boules indiscernables au toucher, numérotées de –5 à +5, on tire au hasard une boule dont on note le numéro que l'on remet dans l'urne puis on tire une seconde boule dont on note également le numéro.

b prend comme valeur le numéro porté par la première boule et c prend comme valeur celle de la deuxième boule de façon à constituer les coefficients de l'équation (E).

Soit A l'événement « l’équation (E) possède deux solutions distinctes » et B l'événement « l'équation (E) possède une unique solution ».

Déterminer, à l'aide du graphique ci-dessus, P(A) et P(B).

3. On suppose désormais que les coefficients b et c de l'équation (E) sont des nombres réels obtenus aléatoirement dans l'intervalle [–5 ; +5].

a. Encadrer l'aire du domaine colorié sur le repère ci-dessus entre deux entiers.

On considèrera dans la suite comme valeur approchée de cette aire la moyenne de ces deux entiers.

b. Évaluer P(A) et P(B) dans le cadre de cette expérience.

c. Un jardinier a décoré de fleurs un terrain de forme carrée (comme ABCD ci-dessous) contenant une partie parabolique correspondant à la partie colorée de la figure ci-dessus.

Il a planté des centaines de fleurs uniformément sur ce terrain carré. Donner un moyen au jardinier de retrouver l'aire de la surface colorée.

23-b : Cartes de Janus (S)

Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs : trèfle, carreau, coeur et pique. Ces couleurs vont par deux : on dit que

coeur et pique se ressemblent ;

carreau et trèfle se ressemblent ;

carreau et pique sont complémentaires ;

coeur et trèfle sont complémentaires.

Dans chacune de ces couleurs, il y a 8 hauteurs de carte, qui sont dans l’ordre croissant 7, 8, 9, 10, V, D, R, A(A signifie as).

Les hauteurs complémentaires sont

la première et la dernière

la deuxième et l’avant dernière

etc.

On décide de fabriquer un nouveau jeu de 32 cartes, toutes différentes, en collant dos à dos, deux jeux de 32 cartes des deux façons suivantes :

La première façon est de coller deux cartes de même hauteur avec des couleurs qui se ressemblent (mais

pas identiques), on appelle ces cartes ci les cartes parallèles. Par exemple, une face 7et une face 7. On

note cette carte 7/7.

La deuxième façon est de coller deux cartes de hauteurs complémentaires avec des couleurs

complémentaires, on appelle ces cartes là les cartes complémentaires. Par exemple, une face 7et une face

A. On note cette carte 7/A.

Le jeu de cartes ainsi fabriqué s’appelle le jeu de Janus, il a été inventé en 1988 par Roland Yéléhada.

1. Enumérer toutes les cartes de Janus.

Le jeu des mariages consiste à former des paires de cartes rigoureusement identiques (hauteur et couleur).

On étale les 32 cartes de Janus sur la table. Chaque joueur prend à tour de rôle une paire parfaite, par exemple deux valets de coeur, tant que c’est possible. Quand il n’y en a plus, le joueur retourne une seule carte :

s’il a créé une paire parfaite, il la prend puis c’est au tour du joueur suivant,

s’il n’a créé aucune paire parfaite, il ne prend rien, laisse la carte retournée et c’est au tour du joueur suivant.

Les cartes retirées ne sont pas retournées pour qu’on ne voie pas ce qu’il y a au dos.

Le joueur qui gagne est celui qui a retiré le plus de paires parfaites.

On joue pour le moment avec 4 cartes de Janus : 7/77/AA/AA/7.

Maud joue contre son Papy. C’est toujours elle qui commence la partie.

2. Y a-t-il une partie dans laquelle Maud ne ramasse pas une paire parfaite au premier tour ?

On joue maintenant avec toutes les 32 cartes. Maud joue en second et c'est à elle de jouer. Il y a un roi de carreau visible, elle cherche le deuxième roi de carreau.

3. Est-il obligatoire que le deuxième roi de carreau se trouve encore sur la table ?

4. Quelle(s) carte(s) peut-elle retourner pour le trouver s’il est encore là ? Sur quelle(s) autre(s) carte(s) risque-t-elle de tomber ?

23-c : Cubes et carrés (autres séries que S, c)

1. a. Montrer que   23 31 2 1 2   .

On appelle cette égalité E2.

b. Expliquer pourquoi le dessin ci-contre permet de justifier cette égalité.

2. a. Montrer que   23 3 31 2 3 1 2 3     .

On appelle cette égalité E3.

b. Expliquer pourquoi le dessin ci-contre permet de justifier cette égalité.

3. Quels dessins pourraient justifier les égalités :

  23 3 3 31 2 3 4 1 2 3 4       et  

23 3 3 3 31 2 3 4 5 1 2 3 4 5         ?

Solution

1. Carré de coté 3 :

2 31 1 1  plus 2 32 2 2  (les 2

carrés gris de côté 2)

moins 1 (compté 2 fois) plus 1 (pour finir le carré de côté 3).

2. Même chose que précédemment plus 2 33 3 3  , ce qui donne un carré de côté 6.

3. En général …

23-d : QCM (autres que S)

Un QCM de mathématiques est composé de 5 questions. Pour chaque question, une bonne réponse rapporte 4 points, une réponse fausse retire 2 points et une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Si le total des points est négatif, la note finale attribuée au QCM est 0.

A l’issue de ce QCM, quatre candidats, Alex, Benjamin, Camille et Delphine ont obtenu la note 0.

Déterminer, pour chacun de ces candidats, le nombre de réponses fausses et le nombre de bonnes réponses sachant que :

* Chacun a rendu un QCM différent de celui de ses trois autres camarades.

* Alex a eu autant de bonnes réponses que d’absence de réponse.

* Très joueur, Benjamin ne s’est jamais abstenu de répondre.

* Camille et Delphine ont répondu correctement aux mêmes nombres de questions.

* Alex s’est abstenu autant de fois que Delphine qui s’est montrée plus audacieuse que Camille.

Correction

Les différentes possibilités de réponses sont décrites dans le tableau ci-dessous

nombre de réponses fausses nombre d'abstention

nombre de bonnes réponses note réelle

note finale

5 0 0 -10 0

4 1 0 -8 0

4 0 1 -4 0

3 2 0 -6 0

3 1 1 -2 0

3 0 2 2 2

2 3 0 -4 0

2 2 1 0 0

2 1 2 4 4

2 0 3 8 8

1 4 0 -2 0

1 3 1 2 2

1 2 2 6 6

1 1 3 10 10

1 0 4 14 14

0 5 0 0 0

0 4 1 4 4

0 3 2 8 8

0 2 3 12 12

0 1 4 16 16

0 0 5 20 20

Pour chaque QCM, soit (x, y, z) dans lequel x désigne le nombre de réponses fausses, y le nombre d’abstentions et z le nombre de bonnes réponses.

Pour Alex, les différentes combinaisons possibles sont : (5, 0, 0) ; (3, 1, 1).

Pour Benjamin, les différentes combinaisons possibles sont : (5, 0, 0) ; (4, 0, 1).

Pour Camille et Delphine, les combinaisons possibles sont : (5, 0, 0) ; (4, 1, 0) ; (3, 2, 0) ; (2, 3, 0) ; (1, 4, 0) ou bien : (4, 0, 1) ; (3, 1, 1). Cette dernière solution est impossible car sinon Alex et Benjamin auraient tous les deux 5 réponses fausses sur les 5 et donc auraient le même QCM.

Alex s’étant abstenu autant de fois que Delphine, c’est à dire 1 fois, Alex a pour combinaison (3, 1, 1) et Delphine a pour combinaison (4, 1, 0).

Delphine s’est montrée plus audacieuse que Camille, donc elle s’est moins abstenue. Camille a pour combinaison (5, 0, 0) ; il reste alors pour Benjamin la combinaison (4, 0, 1).

24. Strasbourg

http://irem.u-strasbg.fr/php/index.php?frame=.%2Fcompet%2Fsujets.php&m0=comp&m1=oly&m2=suj&categ=olymp

24-a : Les chemins sur le cône

Série S

On dispose d’un cône de sommet S de base circulaire de rayon 1 et de hauteur h donnée.

On place deux points A et B diamétralement opposés sur la base de ce cône.

Pour aller de A à B, trois chemins sont possibles :

- le chemin 1 contourne la base

- le chemin 2 monte de A vers S en ligne droite, s’arrête à l’altitude x, contourne le cône en restant à l’altitude x puis redescend en ligne droite pour atteindre B.

- le chemin 3 va de A à S puis de S à B en ligne droite.

1. Si h = 2 et x = 1, lequel des trois chemins est le plus court ?

2. Si h = 2, quel est le chemin de type 2 le plus court ?

3. Dans le cas général, quel est le chemin le plus court ?

24-b : Les chiffres

Série S

On écrit tous les nombres de 1 à 2010 les uns à la suite des autres. On note N l’entier ainsi obtenu : N=1234…20092010.

1. Combien N a-t-il de chiffres ?

2. Quel est le 2010ième chiffre de N ?

3. Combien y-a-t-il de 0 dans l'écriture de N ?

4. N est-il divisible par 3 ?

24-c : Le baccalauréat (c)

Autres séries que S

L’an dernier, à Olympialand, 90 % des élèves de première ont eu la moyenne à l’épreuve écrite du baccalauréat de français. Parmi les candidats, 95 % des filles et 78 % de garçons ont eu la moyenne. Par ailleurs, le nombre de filles est compris entre 1100 et 1300. On sait en outre que les pourcentages n’ont pas été arrondis.

Combien étaient-ils à passer cette épreuve ?

Solution

On appelle N le nombre de candidats, F le nombre de filles, G le nombre de garçons : N F G  .

Ont eu la moyenne : 0,9N en général et 0,95F ainsi que 0,78G : on a 0,9 0,95 0,78N F G  ; enfin 1100 1300F  .

On remplace N dans 0,9 0,95 0,78N F G  :

 0,9 0,95 0,78 0,9 0,9 0,95 0,78 0,12 0,05 12 5F G F G F G F G G F G F           .

G doit être un multiple de 5 et F un multiple de 12 : écrivons toutes les possibilités pour F et G : le premier multiple de 12 après 1100 est 1104 :

F 5F (=12G) G = 5F/12 N=F+G

1104 5520 460 1564

1116 5580 465 1581

1128 5640 470 1598

1140 5700 475 1615

1152 5760 480 1632

1164 5820 485 1649

1176 5880 490 1666

1188 5940 495 1683

1200 6000 500 1700

1212 6060 505 1717

1224 6120 510 1734

1236 6180 515 1751

1248 6240 520 1768

1260 6300 525 1785

1272 6360 530 1802

1284 6420 535 1819

1296 6480 540 1836

24-d : Les permutations de chiffres

Autres séries que S

Charles dit à Jean-Marc : « Je prends le nombre 370.

Je permute les chiffres de toutes les manières possibles et j’obtiens : 370, 307, 073, 037, 730 et 703.

Je calcule leur moyenne, le résultat vaut 370 c'est-à-dire le nombre de départ.

Peux-tu me donner tous les autres nombres à 3 chiffres distincts vérifiant aussi cette propriété ? »

1. Pouvez-vous aider Jean-Marc à trouver ceux dont un des trois chiffres est 4?

2. Pouvez-vous aider Jean-Marc à les trouver tous?

25. Toulouse

http://pedagogie.ac-toulouse.fr/math/viedesmaths/olympiades/

25-a : Au ski …

Séries autres que la série S

Bien assis sur l’une des 100 banquettes du télésiège, se reposant skis aux pieds pendant que celui-ci le remonte en haut des pistes, Ludovic observe les numéros des banquettes qu’il croise.

Les 100 banquettes sont successivement numérotées de 1 à 100, et Ludovic dans sa montée croise les 99 banquettes autres que la sienne.

1. Lors de sa première montée, il croise au moins 90 banquettes qui ont un numéro strictement inférieur au numéro de sa banquette. Il remarque de plus que le numéro de sa banquette est le triple du jour d’anniversaire de sa meilleure amie. Quel est le numéro de la banquette de Ludovic ?

2. Lors de sa deuxième montée, alors qu’il observe les numéros des banquettes qu’il croise, il s’aperçoit que le numéro de sa banquette est le produit des numéros des trois dernières banquettes qu’il vient de croiser. Par ailleurs, il note que la banquette qui le précède et celle qui le suit portent des numéros qui sont des nombres premiers. Quel peut être le numéro de sa banquette ?

3. Lors d’une dernière montée, Ludovic observe encore les banquettes qu’il croise … A l’arrivée, il peut dire que sept des banquettes croisées avaient un numéro divisant celui de sa banquette personnelle, mais que le numéro de sa banquette ne divisait que les numéros de trois des banquettes croisées. Quel est le numéro de la banquette de Ludovic ?

Note : Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 et sans autre diviseur que le nombre 1 et lui-même.

25-b : Friends

Séries autres que la série S

Imaginons un groupe de 7 amis étudiants : Rachel, Monica, Ross, Chandler, Janice, Joe et Phoebe.

Ils habitent New-York et projettent de louer deux voitures pour aller passer des vacances en Floride.

Chaque voiture peut transporter au maximum quatre personnes, chauffeur compris.

Toutefois, passer ensemble les 18 heures que dure le trajet peut s'avérer problématique si les occupants de chaque voiture ne sont pas soigneusement choisis.

En effet, il faut savoir que :

(1) : Rachel et Ross viennent de rompre ; il ne serait donc pas judicieux qu'ils voyagent ensemble.

(2) : Joe est amoureux de Rachel, il y a donc des tensions entre lui et Ross.

(3) : Phoebe tente d'attirer l'attention de Joe, mais celui-ci la repousse.

(4) : Chandler vient juste de piquer à Joe la place de capitaine de l'équipe de foot, et il en résulte un certain ressentiment.

(5) : Monica et Chandler sont jaloux de Janice, parce que, malgré un talent discutable (selon eux), elle est premier violon à l'orchestre de l'université alors qu'eux ne sont que seconds violons.

(6) : Monica pense que Joe n'est pas très malin.

1. Trouver une répartition des sept étudiants dans les deux voitures qui respecte ces différentes incompatibilités. Est-ce la seule possible ?

2. L’un des sept étudiants décide de rester en Floride. On constate alors qu’il y a quatre répartitions possibles pour le retour des six autres étudiants. Qui est resté en Floride et quelles sont les répartitions possibles pour le retour ?

25-c : Compensation (c)

Série S

En Pivoinie, les logements mis sur le marché locatif se partagent en deux catégories : les logements appartenant à des particuliers désireux de les louer, appelés « logements privés », et les logements appartenant à l’Etat, appelés « logements publics ».

Dans ce pays, les propriétaires de logements privés sont imposés sur les loyers qu’ils reçoivent de leurs locataires. Le taux de cet impôt, fixé par le conseil des capitans, est de 20 % en 2010 et il est prévu qu’il soit de 25 % en 2011.

1. Les propriétaires de logements privés souhaitent que les revenus qu’ils tirent de la location de leur bien (impôt déduit) soient identiques en 2010 et 2011. De combien, en pourcentage, peuvent-ils augmenter les loyers réclamés à leurs locataires pour cela ?

2. On prévoit que l’évolution du parc des logements d’une année à l’autre sera très faible ; elle sera considérée comme négligeable. Les capitans, quant à eux, veulent pouvoir annoncer que la moyenne d’augmentation des loyers entre 2010 et 2011 sera de 3 % au plus. Pour atteindre cet objectif de communication, ils n’augmentent pas les loyers des logements publics entre 2010 et 2011.

Quelle proportion du total des loyers représente le total des loyers des logements publics ?

Solution

On appelle P1 le loyer des logements privés en 2010 et P2 celui de 2011 ; U1 et U2 pour le public.

1. Les impôts en 2010 sont 0,2P1 et en 2010 0,25P2 ; les revenus sont donc 0,8P1 et 0,75P2 d’où pour qu’il y ait

égalité il faut que 2 1 2 1 1 0,8

0,75 0,8 1,0667 0,75

P P P P P    , soit une augmentation de 6,67 %.

2. On appelle N le nombre total de logements, PN le nombre de logements privés, UN le nombre de logements

publics ; le total des loyers est 1 1P UN P N U et la moyenne en 2010 est : 1 1P UN P N UM

N

  .

En 2011 on a 2 1U U , la moyenne augmente de 3 % et passe à

2 1 1 1' 1,03 1,03P U P U N P N U N P N U

M M N N

     .

Maintenant on cherche 1

1 1

U

P U

N U

N P N U : on peut tout simplifier par N et par ailleurs on a 2 11,0667P P donc

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,0367 1,0667 1,03 1,03 0,0367 0,03 1,23

0,03 P U P U P U U P PN P N U N P N U N P N U N U N P N P        ;

conclusion : 1

1 1

1,23 0,55

1 1,23

U

P U

N U

N P N U  

  soit 55 %.

25-d : Elise et son jeu de construction

Série S

Élise possède un jeu de construction. Ce jeu est formé de tiges métalliques rigides de même longueur 3a (où a désigne une unité de longueur donnée). On peut assembler ces tiges grâce à un système de clips. A l’extrémité d’une tige, il est possible de connecter plusieurs autres tiges.

Par exemple, les assemblages suivants sont possibles.

1. Un premier problème que rencontre Élise est que, en mettant bout à bout deux tiges, elle n’est pas certaine que celles-ci soient bien alignées. Comment parvient-elle à assurer cet alignement en utilisant d’autres tiges ?

Élise a des exercices à faire pour demain. Elle décide de les résoudre en utilisant uniquement son jeu de construction. Dans la mesure où elle sait maintenant aligner parfaitement deux tiges, elle s’autorise toutefois, pour gagner du temps, l’usage de sa vieille règle dont les graduations sont effacées par l’usure.

Exercice 1

Construire un segment parallèle à la droite (d) passant par le point A, situé à une distance de valeur 2a de la droite (d).

Exercice 2

Construire le milieu du segment [AB] de longueur 3a.

2. Élise peut-elle réaliser ces deux constructions uniquement avec son jeu et sa règle, et si oui comment ?

3. Élise pourrait-elle construire le milieu du segment [AB] avec son jeu de construction et sa règle pour une valeur quelconque de la distance AB ? Expliquer.

4. Il reste à Élise un dernier exercice à faire :

Exercice 3

Construire le symétrique du point A par rapport au point B, où BA = 4a.

a. Élise peut-elle réaliser cette construction uniquement avec son jeu et sa vieille règle, et si oui comment ?

b. Élise pourrait-elle construire le symétrique du point A par rapport au point O avec son jeu de construction et sa vieille règle pour une valeur quelconque de la distance OA ? Expliquer.

26. Versailles

http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades.htm

26-a : Le trapèze

Séries S et STI

La figure ci-dessous représente un trapèze ABCD de bases [AB] et [CD]. Le but de l’exercice est de déterminer et de

construire de tels trapèzes vérifiant la condition (E) : CD= 2AB

BC= 2AD

  

.

(cette figure ne représente pas une solution du problème).

On pose AB = a, AD = b, DH = x, KC = y et AH = h.

1. Montrer que si le trapèze ABCD vérifie la condition (E), alors : 3 3b a b  .

2. Réciproquement, montrer que la condition ci-dessus est suffisante pour exprimer que ABCD vérifie la condition (E).

3. Construire un tel trapèze en prenant a = 2 et b = 1.

La figure, où les traits de construction seront apparents, sera accompagnée d’une rédaction.

26-b : La semeuse

Séries S et STI

9

8

7

6

5 7

4 6

3 5

2 4

1 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

On repère chaque case du tableau (infini) ci-dessus par deux entiers naturels a (abscisse) et b (ordonnée).

À chaque case, repérée par le couple (a,b) on attribue un nombre, noté f(a, b) respectant les conditions suivantes :

- Les cases de coordonnées (a, b) et (b, a) reçoivent le même nombre ;

- Pour tout entier a, la case de coordonnées (a, a) reçoit le nombre a + 2 ;

- Quels que soient les entiers a et b,      , ,b f a a b a b f a b     .

1. Quels sont les nombres inscrits dans les cases de coordonnées (1, 2) et (1, 3) ?

2. Plus généralement, si on se donne un entier naturel b, quel est le nombre inscrit dans la case de coordonnées (1, b) ?

3. Quel est le numéro inscrit dans la case de coordonnées (8, 5) ?

4. Quel est le numéro inscrit dans la case de coordonnées (2 000, 2 010) ?

26-c : Retour à Syracuse

Séries autres que S et STI

Une rangée de cases supposée illimitée est numérotée par les nombres entiers successifs, en commençant par 1. Un pion peut se déplacer d’une case à l’autre en utilisant les seuls mouvements autorisés :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

- aller de la case numérotée n à la case numérotée 2n ;

- aller de la case numérotée 2n à la case numérotée n ;

- aller de la case numérotée n à la case numérotée 3n + 1 ;

- aller de la case numérotée 3n + 1 à la case numérotée n.

1. Montrer qu’un pion peut aller de la case 56 à la case 1 en un nombre fini d’étapes.

2. Montrer qu’un pion peut aller de la case 29 à la case 1 en un nombre fini d’étapes.

3. Montrer qu’un pion peut aller d’une case numérotée 3m + 2 à la case numérotée 2m + 1 en deux étapes.

4. Montrer qu’un pion peut aller d’une case numérotée 3m à la case numérotée 2m, en passant par la case numérotée 36m + 4, en quelques étapes.

5. Peut-on, à partir de n’importe quelle case, rejoindre la case 1 ?

26-d : Piles de triangles (c)

Séries autres que S et STI

Un enfant dispose de triangles équilatéraux aux sommets desquels sont inscrits les nombres 1, 2 et 3 comme sur la figure ci-contre.

Il peut en empiler sur un axe autant qu’il veut, puis compter les totaux obtenus le long des arêtes de la pile.

Il obtient ainsi trois sommes.

1. Les sommes obtenues peuvent-elle être toutes égales à 4 ? à 5 ? à 6 ?

2. Peuvent-elles être toutes égales à 2 010 ? à 2 011 ?

Solution

1. Si on empile deux triangles, on obtient une partie des sommes supérieures ou égales à 4. Pour les réduire toutes à

4, il faut faire apparaître  1, 3 et  3,1 , c’est impossible car dans un empilement de deux triangles, si le 3 est au-

dessus du 1, alors le 2 est au-dessus du 3.

Pour obtenir des sommes toutes égales à 5, il est nécessaire d’empiler au moins 3 triangles (car avec 2, la somme totale est 12), mais la somme totale est alors 18, ce qui est supérieur à 3 fois 5.

On peut obtenir des sommes toutes égales à 6 en empilant 3 triangles de telle sorte que le long des arêtes on lise par exemple : 1-2-3, 2-3-1 et 3-1-2.

2. Si on empile n triangles, la somme des sommes lues en suivant les arêtes latérales du prisme est 6n. Si ces sommes sont égales, elles sont égales à 2n. Qu’elles puissent être égales à 2011 est donc exclu. En empilant 1 005 triangles en 335 séries de 3 comme dans la question précédente, on obtient des sommes toutes égales à 2 010.

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