Sciences mathématique - Contrôle 5, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 5, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 5 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le graphique, la limite, la fonction.
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Terminale S

Terminale S avril 2011

Pondicherry

1. Exercice 1 (10 points)

Partie I

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C1 et C2

représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur l’intervalle  0 ;  .

On sait que :

– l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et C2 ;

– l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C2 ;

– la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle  0 ;  ;

– la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle  0 ;  ;

– la limite quand x tend vers  de  1f x est  .

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’est pas sanctionnée.

1. La limite quand x tend vers 0 de  2f x est :

0  On ne peut pas conclure

2. La limite quand x tend vers  de  2f x est :

0 0,2 On ne peut pas conclure

3. En  , C1 admet une asymptote oblique :

Oui Non On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de    2 1f x f x est :

x 0  x 0  x 0 1 

   2 1f x f x +    2 1f x f x –    2 1f x f x + 0 –

Partie II

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par     1

ln 1f x x x

   .

1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle  0 ;  .

3. En déduire le signe de  f x lorsque x décrit l’intervalle  0 ;  .

4. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle  0 ;  par   lnF x x x x  est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.

5. Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle  1 ;  .

6. Montrer que l’équation   1

1F x e

  admet une unique solution dans l’intervalle  1 ;  qu’on note

 .

7. Donner un encadrement de  d’amplitude 10–1.

Partie III

Soit g et h les fonctions définies sur l’intervalle  0 ;  par :   1

g x x  et    ln 1h x x  .

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes Cg et Ch représenta-tives des fonctions g et h.

1. A est le point d’intersection de la courbe Ch et de l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.

2. P est le point d’intersection des courbes Cg et Ch. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).

3. On note  l’aire du domaine délimité par les courbes Cg, Ch et les droites d’équations respectives x = 1/e et x = 1 (domaine noir sur le graphique).

a. Exprimer l’aire  à l’aide de la fonction f définie dans la partie II.

b. Montrer que 1

1 e

 A .

4. Soit t un nombre réel de l’intervalle  1 ;  . On note t l’aire du domaine délimité par les droites d’équations respectives x = 1, x = t et les courbes Cg et Ch (domaine grisé sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de t telle que  =t.

a. Montrer que    ln lnt t t t B .

b. Conclure.

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

A’ est le centre de gravité du triangle BCD.

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA’] est une médiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que '. 0AA BD  et que '. 0AA BC  .

(On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et lemilieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA’) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes en G.

En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA’), puis conclure.

Partie II

Onmunit l’espace d’un repère orthonormal (O ; , , )i j k .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; –1) et R(–2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P’, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x + 2y + 16z = 0.

4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

Partie A

On considère, dans un repère (O ; , , )i j k de l’espace, la surface S d’équation   2

z x y  .

1. On note E1 l’intersection de S avec le plan P1 d’équation z = 0.

Déterminer la nature de E1. On note E2 l’intersection de S avec le plan P2 d’équation x = 1.

Déterminer la nature de E2.

Partie B

On considère, dans un repère (O ; , , )i j k de l’espace, la surface S’ d’équation : z = xy.

1. On note E3 l’intersection de S’ avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E3.

2. On note E4 l’intersection de S’ avec le plan P3 d’équation z = 1. Déterminer la nature de E4.

Partie C

On note E5 l’intersection de S et de S’.

Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).

On suppose qu’il existe un point Mappartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

1. Montrer que si x = 0, alors le point Mest le point O.

2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul.

a. Montrer que les entiers x, y et z vérifient 2 23 0x xy y   . En déduire qu’il existe alors des entiers

naturels x’ et y’ premiers entre eux tels que 2 2' 3 ' ' ' 0x x y y   .

b. Montrer que x’ divise y’2, puis que x’ divise y’.

c. Établir que y’ vérifie la relation 21 3 ' ' 0y y   .

d. Conclure.

4. Exercice 3 (5 points)

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p0 +p3 +p5 = 1. Sachant que 5 3 1

2 p p et que 5 0

1

3 p p , déterminer les valeurs de p0, p3 et p5.

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points.

Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note G2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On note G3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que  2 5

G 36

p  . On admettra dans la suite que

 3 7

G 36

p  .

b. En déduire  p P .

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : –2, 1 et 3.

a. Donner la loi de probabilité de X.

b. Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?

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