Sciences mathématique - Contrôle 6, Exercices de Algèbre linéaire

Télécharge Sciences mathématique - Contrôle 6 et plus Exercices au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! Terminale S juin 2011 Amérique du Nord 1. Exercice 1 (5 points) Le plan complexe est rapporté à un repère ( ; , )O u v orthonormal direct. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle 2  , rB la rotation de centre B, d’angle 2  et rO la rotation de centre O, d’angle 2   . Partie A On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d, g et h les affixes respectives des points D, G et H. 1. Démontrer que d = −2 + i. 2. Déterminer g et h. 3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle. Partie B On considère un point M, distinct de O et de A, d’affixe m. On appelle N l’image de M par rA, P l’image de N par rB et Q l’image de M par rO. On note n, p et q les affixes respectives des points N, P et Q. 1. Montrer que 1n im i   . On admettra que 1p m i    et q im  . 2. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. 3. a. Montrer l’égalité : 1m n i p n m     . b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer l’ensemble  des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle. Correction 1. rA a pour écriture complexe :      2' ' ' 1 i A Az z e z z z a i z a z i z i i iz i                ; donc 1 1 3 1 2D Cd z iz i ic i i i i i              . 2. rB a pour écriture complexe :         2' ' ' 1 1 2 i B Bz z e z z z b i z b z i z i i iz                 ; donc  2 2 2 2 1 2G Dg z iz id i i i            . rO a pour écriture complexe :  2 0' ' i Oz z e z z z iz         ; donc 3 3H Ch z iz i i      (ou immédiatement !) 3. CDGH est un parallélogramme : Méthode 1 :  3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 C G i iz z c g i        et  2 3 1 1 2 2 2 2 2 D H iz z d h i         ; les diagonales [CG] et [DH] ont le même milieu ; CDGH est donc un parallélogramme. Méthode 2 : 3 3H CCHz z z h c i      et    1 2 2 3 3G DDGz z z g d i i i           ; les vecteurs CH et DG sont donc égaux ; CDGH est donc un parallélogramme. CDGH est un rectangle : Méthode 1 :  1 2 3 1 5 26G CCG z z g c i i i           3 2 5 26H DDH z z h d i i           ; Les diagonales [CG] et [DH] ont donc la même longueur ; CDGH est donc un rectangle. Méthode 2 :      3 3 2 23 3 3 3 6 6 6 6 3 2 3 2 2 8 8 2 H C D C i iz z h c i i i i i z z d c i i i                        donc   3; arg arg 2 2 H C D C z z CD CH i z z               ; les côtés [CD] et [CH] sont perpendiculaires. Partie B 1. 1n im i   puisque n est l’affixe de N qui est l’image de M par rA. 2. Le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme :  1 1 2 2 2 2 M P m m iz z m p i         et    1 1 2 2 2 2 N Qz z im i imn q i         ; les diagonales [MP] et [NQ] ont bien le même milieu. 3. a. 1m n i p n m     :  1 1 m im im n p n m        i  1im  i            1 1 1 1 1 m i m m i m m im m i                             2 2 1 1 1 1 1 1 1 21 1 m i m i m i i m mm                m  1 im i   im i  m 1 2 2m     2 2 im  1 i mm   . b. Le quadrilatère MNPQ, qui est déjà un parallélogramme, est un rectangle  il a deux côtés consécutifs perpendiculaires  ses côtés [NP] et [NM] sont donc perpendiculaires   ; 2 NP NM     arg 2 m n p n         1 arg 2 i m          1 i ki m          1 1 1 1 1 1 1 k i m i m k i k         ; m est sur l’axe vertical. Remarque : Résultat conforme avec ceux établis dans le cas particulier de la partie A. 2. Exercice 2 (4 points) Les parties A et B sont indépendantes Partie A Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ? Partie B La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  avec 0  . 5. a. Le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients 1, –1 et 2 : Soit G le barycentre, qui existe bien puisque 1 + (–1) + 2  0, des points R, B et C affectés des coefficients 1, –1 et 2 ; Alors G a pour coordonnées : 2 1 1 2 0 2 2 2 0 0 2 1 2 2 2 0 0 0 0 2 2 R B C D R B C D R B C D x x x x x y y y y y z z z z z                             ; Donc G = D ; Le point D est donc bien le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients 1, –1 et 2. b.   MR MB 2MC 2 2 2MD 2 2 2M S        2MD  2 2DM  ; L’ensemble (S) est donc la sphère de centre D et de rayon 2 . c. Les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S) car DB = DE = DG = 2 (diagonales de carrés de côté 1). d. L’intersection du plan (BCE) et de la sphère (S) contenant déjà 3 points est donc bien un cercle (C) ; on retrouve ceci en calculant la distance de D au plan (BCE) :    2 2 2 1 0 0 1 2 ; 2 221 0 1 D Dx z d D BCE           ; Le centre de (C) est le projeté orthogonal de D sur le plan (BCE) qui est I le milieu de [DG] ; le rayon r de (C) est tel que      2 22 2 2 2 2 1 3 3 6; 2 2 2 2 2 2 2 d D BCE r R r r                  . 4. Exercice 3 (5 points, spécialistes) Partie A : Restitution organisée de connaissances Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors  1 1 modulopq p  ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : 2 3 6 1 n n n nu     . 1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4. On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un). 4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ? 5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3. a. Montrer que  26 2 3p p  et  26 3 2p p  . b. En déduire que  26 0pu p  . c. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ? Correction 5. Exercice 4 (6 points) Partie A On considère la fonction g définie sur  0 ;  par   1xg x e x   . 1. Étudier les variations de la fonction g. 2. Déterminer le signe de  g x suivant les valeurs de x. 3. En déduire que pour tout x de  0 ;  , 0xe x  . Partie B On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par   1x x e f x e x    . La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal est donnée ci-dessous. On admet que f est strictement croissante sur  0 ; 1 . 1. Montrer que pour tout x de  0 ; 1 ,    0 ; 1f x  . 2. Soit (D) la droite d’équation y = x. a. Montrer que pour tout x de  0 ; 1 ,      1 x x g x f x x e x     . b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur  0 ; 1 . 3. a. Déterminer une primitive de f sur  0 ; 1 . b. Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Partie C On considère la suite  nu définie par :   0 1 1 2 n n u u f u      , pour tout entier naturel n. 1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, 1 1 1 2 n nu u    . 3. En déduire que la suite  nu est convergente et déterminer sa limite. Correction Partie A 1. Les variations de la fonction g : g est dérivable sur  0 ;   et  ' 1xg x e  ;  ' 0 1 0 1 0x xg x e e x        ; g’ étant strictement positive sur l’intervalle  0 ;   , g est strictement croissante sur l’intervalle  0 ;   . 2. Le signe de  g x suivant les valeurs de x :   00 0 1 0g e    ; g étant croissante, g est nulle en 0 et strictement positive sur l’intervalle. 3.   0 1 0 1 0x x xg x e x e x e x           . Partie B 1. Comme f est strictement croissante sur  0 ;1 ,      0 1f f x f  ; or   0 0 1 0 0 0 10 e f e      et   1 1 1 1 1 e f x e     ; donc pour tout x de  0 ;1 ,    0 ;1f x  . 2. a. On a     211 1x xx x x x x x e x e xe e xe x f x x x e x e x e x               , et    1 1x x x x e x e x e x         21 xxe x x     21x x x x e xe x e x e x       ; ok. b. La position de la droite (D) et de la courbe (C) sur  0 ;1 est donnée par le signe de  f x x ; or               1 0 sur 0;10 1 0 0 1 0 0 0 x x xe x x g x f x x x g x g x x e x                 ; la droite (D) est située au- dessous de la courbe (C ) sur  0 ;1 et la coupe au point O. 3. a. Une primitive de f sur  0 ;1 :       '1x x u xe f x u xe x     où   xu x e x  ; comme u > 0 sur  0 ;1 (cf. A.3.), une primitive F de f est définie par :       ln ln xF x u x e x   .