Sciences mathématique - Contrôle 7, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 7, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 7 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, la courbe représentative, la solution particulière de l’équation.
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Terminale S

Terminale S juin 2011

Antilles - Guyane

1. Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra 2 cm pour unité

graphique. On appelle Jle point d’affixe i .

1. On considère les points A, B, C, Hd’affixes respectives a = –3 – i, b = –2 + 4i, c = 3 – i et h = –2.

Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que Jest le centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle (C).

3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe b c

h a

 . En déduire que les droites (AH) et (BC)

sont perpendiculaires.

Dans la suite de l’exercice, on admet que Hest l’orthocentre du triangle ABC, c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.

4. On note Gle centre de gravité du triangle ABC. Déterminer l’affixe g du point G. Placer Gsur la figure.

5. Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit Jet l’orthocentre Hdu triangle ABCsont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note A’ le milieu de [BC] et Kcelui de [AH]. Le point A’ a pour affixe 1 3

' 2 2

a i  .

a. Déterminer l’affixe du point K.

b. Démontrer que le quadrilatère KHA’Jest un parallélogramme.

2. Exercice 2 (6 points)

1. Soit f la fonction définie sur  0 ;  par   1xf x xe  .

a. Déterminer la limite de la fonction f en  et étudier le sens de variation de f.

b. Démontrer que l’équation   0f x  admet une

unique solution  sur l’intervalle  0 ;  . Déterminer une valeur approchée de  à 10–2 près.

c. Déterminer le signe de  f x suivant les

valeurs de x.

2. On note  C la courbe représentative de la

fonction exponentielle et   celle de la fonction

logarithme népérien dans le plan muni d’un

repère orthonormé ( ; , )O i j .

Les courbes  C et   sont donnée ci-contre.

Soit x un nombre réel strictement positif. On note

Mle point de  C d’abscisse x et Nle point de

  d’abscisse x.

On rappelle que pour tout réel x strictement

positif, lnxe x .

a. Montrer que la longueur MNest minimale lorsque x  . Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à 10–2 près.

b. En utilisant la question 1., montrer que 1

e

  . En déduire que la tangente à  C au point d’abscisse

et la tangente à   au point d’abscisse  sont parallèles.3. a. Soit h la fonction définie sur  0 ; 

par   lnh x x x x  . Montrer que la fonction h est une primitive de la fonction logarithme népérien sur

 0 ;  .

b. Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10–2 près, de l’aire (exprimée en unités d’aire) de la surface hachurée sur la figure précédente.

3. Exercice 3 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes.

Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3.

On effectue n tirs supposés indépendants. On désigne par pn la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois sur ces n tirs.

La valeur minimale de n pour que pn soit supérieure ou égale à 0,9 est :

a. 6 b. 7 c. 10 d. 12

2. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d’un moteur Diesel jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire X

définie sur  0 ;  et suivant la loi exponentielle de paramètre 0,0002  . Ainsi, la probabilité que le

moteur tombe en panne avant l’instant t est   0

t tp X t e dt    .

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 10 000 heures est, au millième près :

a. 0,271 b. 0,135 c. 0,865 d. 0,729

3. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s’il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé, successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :

a. 125

3888 b.

625

648 c.

25

7776 d.

3

5

4. Soient A et B deux événements indépendants d’une même univers  tels que

p(A)= 0,3 et   0,65p A B  . La probabilité de l’événement B est :

a. 0,5 b. 0,35 c. 0,46 d. 0,7

4. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

1. On considère l’équation (E) : 11x – 7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs.

a. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels que 11u – 7v = 1. Trouver un tel couple.

b. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

c. Résoudre l’équation (E).

d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère la droite (D)d’équation

cartésienne 11x – 7y – 5 = 0. On note C l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 0 50x  et

0 50y  .

Déterminer le nombre de points de la droite (D)appartenant à l’ensemble C et dont les coordonnées sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 2 211 7 5x y  où x et y sont des entiers relatifs.

a. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors  2 22 mod 5x y .

b. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y2 par 5 ?

c. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

5. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère la droite (D)passant par le point Ade coordonnées (3 ; –4 ; 1) et dont un vecteur directeur

est  1 ; 3 ; 1u  .

On considère la droite (D’) dont une représentation paramétrique est :

1

2 ,

1

x t

y t t

z t

      

  

.

On admet qu’il existe une unique droite (  ) perpendiculaire aux droites (D)et (D’). On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite (  ) et de calculer la distance entre les droites (D)et (D’), distance qui sera définie à la question 5.

On note Hle point d’intersection des droites (D)et ( ), H’ le point d’intersection des droites (D’) et (  ). On appelle (P)le plan contenant la droite (D)et la droite (  ). On admet que le plan (P)et la droite (D’) sont sécants en H’. Une figure est donnée ci-dessous.

1. On considère le vecteur  1 ; 0 ; 1w  . Démontrer que w est une vecteur directeur de la droite (  ).

2. Soit  3 ; 2 ; 3n .

a. Démontrer que le vecteur n est normal au plan (P).

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P)est 3x + 2y + 3z – 4 = 0.

3. a. Démontrer que le point H’ a pour coordonnées (–1 ; 2 ; 1).

b. En déduire une représentation paramétrique de la droite (  ).

4. a. Déterminer les coordonnées du point H.

b. Calculer la longueur HH’.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point Mappartenant à (D)et tout point M’ appartenant à (D’), MM ' HH ' .

a. Montrer que MM ' peut s’écrire comme la somme de HH ' et d’un vecteur orthogonal à HH ' .

b. En déduire que 2 2

MM ' HH ' et conclure.

La longueur HH’réalise donc le minimum des distances entre une point de (D) et une point de (D’). On l’appelle distance entre les droites (D) et (D’).

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