Sciences mathématique - Contrôle 9, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 9, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite définie, la rotation de centre, la réflexion d’axe.
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Terminale S

Terminale S juin 2011

Centres étrangers

1. Exercice 1 (4 points)

On considère une droite D munie d’un repère ( ; )O i . Soit  nA la suite de points de la droite D ainsi définie :

* A0 est le point O ;

* A1 est le point d’abscisse 1 ;

* pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment  1n nA A  .

1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6. On prendra 10 cm comme unité graphique.

b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An. Calculer a2, a3, a4 a5 et a6.

c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : 12 2

n n n

a a a 

  .

2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, 1 1

1 2

n na a    .

3. Soit  nv la suite définie, pour tout entier naturel n, par 2

3 n nv a  .

Démontrer que  nv est une suite géométrique de raison 1

2  .

4. Déterminer la limite de la suite  nv , puis celle de la suite  na .

Correction

2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1

On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , les points A, B et C

d’affixes respectives : 1a i  , 3b i , 1 3

3 2 2 2

c i   

           .

Affirmation : Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , la

transformation f dont une écriture complexe est : 2

' 3

i z z

i

    

  .

Affirmation : La transformation f est la rotation de centre O et d’angle 3

 .

Question 3. On considère le nombre complexe   2011

3a i   .

Affirmation : Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Question 4. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre  , où  est un nombre réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’événement  X t s’exprime par

  1 tX t e   P .

Affirmation : Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1 e  .

Question 5. Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires.

On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage.

Affirmation : La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

Correction

3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée.

Question 1. On considère l’équation (E) : 2x + 11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k −2 ; −4k +1), avec k appartenant à l’ensemble des entiers relatifs.

Question 2. On considère l’entier N = 112012.

Affirmation : L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3. On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives : 1a i  ,

3b i ,    1 2 2 1 2c i    .

Affirmation : Le point C est l’image du point B par la simililude directe de centre A, de rapport 2 et

d’angle 2

  .

Question 4. On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives : 1a i  ,

2b i  .

Soit f la similitude d’écriture complexe : 3 4 12 6

' 5 5 5 5

z i z i                

.

Affirmation : La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère la surface S dont

une équation est : z = 4xy.

Affirmation : La section de la surface S par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

Correction

4. Exercice 3 (5 points)

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit Mun point quelconque du segment [CE].

Dans tout l’exercice, on se place dans le repère

orthonormal  A ; AB, AD, AE . 1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point Msoient (1−t ; 1−t ; t).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ]. b. En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M.

c. Exprimer IM2 en fonction de t.

3. Le but de cette question est de déterminer la position du point Msur le segment [CE] pour laquelle la

mesure de l’angle IMJ est maximale.

On désigne par  lamesure en radian de l’angle IMJ .

a. En admettant que la mesure  appartient à l’intervalle  0 ; , démontrer que la mesure  est

maximale lorsque sin 2

     

est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IMest minimale.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :   2 1

3 4

f t t t   .

d. En déduire qu’il existe une unique position M0 du point Msur le segment [EC] telle que la mesure de

l’angle IMJ soit maximale.

e. Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].

Correction

5. Exercice 4 (6 points)

Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble  des nombres réels par :   1 xf x xe  et

  2 1 xg x x e  .

Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal ( ; , )O i j sont respectivement

notées (C) et (C’). leur tracé est donné ci-dessous.

1. Étude des fonctions f et g

a. Déterminer les limites des fonctions f et g en  .

b. Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite 0 en  .

c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs.

2. Calcul d’intégrales

Pour tout entier naturel n, on définit l’intégrale In par : 1

1 0

0

xI e dx  et, si n > 1, 1

1

0

n x nI x e dx

  .

a. Calculer la valeur exacte de I0.

b. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n :  1 1 1n nI n I     .

c. En déduire la valeur exacte de I1, puis celle de I2.

3. Calcul d’une aire plane

a. Étudier la position relative des courbes (C) et (C’).

b. On désigne par  l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre les courbes (C) et (C’), d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

En exprimant  comme différence de deux aires que l’on précisera, démontrer l’égalité :  = 3 − e.

4. Étude de l’égalité de deux aires

Soit a un réel strictement supérieur à 1.

On désigne par  aS l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre les

courbes (C) et (C’), d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.

On admet que  aS s’exprime par :    1 23 1aa e a a   S . L’objectif de cette question est de prouver qu’il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires

 et  aS sont égales.

a. Démontrer que l’équation  a S A est équivalente à l’équation : 2 1ae a a   .

b. Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative,même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Conclure, quant à l’existence et l’unicité du réel a, solution du problème posé.

Correction

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